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前言

此乃一个小 Oler 的一篇图论算法随笔，从今日后，还会进行详细的修订。

一、简单介绍（Dijkstra）

迪杰斯特拉算法 ( Dijkstra ) 是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

定义：

Dijkstra 算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。

二、基本概念&用途

最短路径

$< f o n t c o l o r = r e d > 路径长度 < / f o n t >$ ：当图是带权图时，把从一个顶点 $i$ 到图中其余任意一个顶点 $j$ 的一条路径（可能不止一条）所经过边上的权值之和，定义为该路径的带权路径长度。
$< f o n t c o l o r = r e d > 最短路径 < / f o n t >$ ：把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径。

备注：求解最短路径的算法通常都依赖于一种性质，即两点之间的最短路径也包含了路径上其他顶点间的最短路径。

带权有向图 $G$ 的最短路径问题一般可分为两类：

1）单源最短路径，求图中 $< f o n t c o l o r = r e d > 某一顶点到其他各顶点 < / f o n t >$ 的最短路径。

2）多源最短路径，求 $< f o n t c o l o r = r e d > 每对顶点间 < / f o n t >$ 的最短路径。

Dijkstra 的实战性/优劣势

Dijkstra 算法用于有权边的图，属于单源最短路径。
其对于一般其他的求解单源最短路的算法，优势在于基于空间复杂度平分秋色的情况下，时间复杂度更优，但由于是贪心思想，所以图中不可出现负边权，下面的算法流程会对此进行解释。
其算法内涵是设置一个集合 $S$ 记录已求得的最短路径的顶点，初始时把源点 $v_{0}$ 放入 $S$ ，集合 $S$ 每并入一个新顶点 $v_{i}$ ，都要修改源点 $v_{0}$ 到集合 $V - S$ 中顶点当前的最短路径长度值。

三、算法流程（代码实现）

DIJ之【邻接矩阵】

I.储存边权

本种方法用邻接矩阵储存任意两个邻接节点 $u$ 和 $v$ 的边权值，引入一个辅助数组 $a c r s$ ，由于两个邻接节点之间可能会出现重边（即节点 $u$ 到其邻接节点 $v$ 有多条路径），所以我们只需要取其最小值。

$a r c s_{u, v} = min (v a l u e < u, v >, a r c s_{u, v}) / \infty$ ：表示有向边<u,v>的权值

II.Dijkstra 函数

$d i s t_{i}$ ：记录源点到其他各节点 $i$ 当前的最短路径长度

初始化： $d i s t_{i} = a c r s_{0, i}$

总共进行 $n - 1$ 次操作，直到所有的顶点都访问过后结束。

①.找最短路终点

假设起始点为 $v_{0}$ ，要求从 $v_{0}$ 到 $S \in v$ 的最短路径。

从顶点集合 $V - S$ 中选出 $v_{j}$ ，满足 $d i s t_{j} = min (d i s t_{i} | \in V - S)$ ，即 $v_{j}$ 是从 $v_{i}$ 出发到的所有邻接节点之中最短路径的顶点， $v_{j}$ 就是当前求得的一条从 $v_{0}$ 出发的最短路径的终点，然后再把 $v_{j}$ 放入集合 $S$ ，这里我们采用一个标记 bool 数组 $f$ 进行标记。

②.修改最短路径

修改从起始点 $v_{0}$ 出发到集合 $V - S$ 上得任意一顶点 $v_{k}$ 可达的最短路径长度 $d i s t_{k}$ 。

若 $d i s t_{j} + a r c s_{j, k} < d i s t_{k}$ ，则更新 $d i s t_{k} = d i s t_{t} + a r c s_{t, k}$ 。

步骤如下图所示，源点为 $v_{0}$ ，初始时集合 $S =$ { $v_{0}$ }， $d i s t_{1} = 3$ ， $d i s t_{2} = 7$ ，当将 $v_{1}$ 并入集合 $S$ 后， $d i s t_{2}$ 需要更新为 $4$ 。

模拟 Dijkstra 过程

III. Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int oo=0x3f3f3f3f;
const int N=10001;
int n,m,s,u,v,w;
int dist[N],arcs[N][N];
bool f[N];
void dijkstra() {
	dist[s]=0;   //初始化
	for(int i=1;i<=n;i++) {   //循环n次，每次选择一个点加入集合V
		int t=-1;
		for(int j=1;j<=n;j++) {    //寻找值最小的顶点
			if(f[j]==0&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) 
				t=j;
		}
		f[t]=1;   //标志位，把点加入集合S
		for(int k=1;k<=n;k++) {   //更新dist的值 
			if(f[k]==0&&dist[t]+arcs[t][k]<dist[k])
				dist[k]=dist[t]+arcs[t][k];
		}
	}
	return ;
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&s);   //输入点数、边数和起始点
	memset(dist,oo,sizeof dist);
	memset(arcs,oo,sizeof arcs);
	while(m--) {
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		arcs[u][v]=min(arcs[u][v],w);   //每次更新为最小值
	}
	dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld ",dist[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

DIJ之【邻接表+堆优化】

I.邻接表存图

由于要使用到优先队列堆优化 Dijkstra 的运行效率，而邻接矩阵在遍历时要对于每个顶点去找其最短的路径终点，会大大增加运行时间，所以我们的“开国元老”邻接矩阵 $a r c s$ 已经不适用 ~~（落伍了）~~ ，需要排上我们的年轻小将“车骑将军”邻接表 $a d j$ ，此将军甚是威猛，其与老将军不同的最大特点是在访问时只需遍历其相邻的边。

II.Dijkstra 遍历函数

还是 $d i s t_{i}$ ：记录源点到其他各节点 $i$ 当前的最短路径长度

优化思路：在朴素版的 Dijkstra 遍历所有点比较找出距离最近的点使用优先队列priority_queue 进行优化。

①.定义优先队列

将优先队列定义成小根堆，优先队列元素为 $p a i r < i n t, i n t >$ ，其中第一个元素含义为源点 $v_{0}$ 到某个顶点 $v_{j}$ 的距离 $d i s t_{j}$ ，第二个元素为节点编号 $v_{j}$ 。

②.初始化

初始化： $d i s t_{i} = \infty$

将源点 $d i s t [v_{0}]$ 设置成 $0$ ，并将 { $d i s t [v_{0}], v_{0}$ } 放入优先队列。

③.更新最短路径

去取出栈顶的元素，如果，堆顶节点 $v_{j}$ 已经在集合 $S$ 中，则舍弃该点，再次取出堆顶元素，否则把该节点 $v_{j}$ 加入堆集合 $q$ ，修改从源点 $v_{0}$ 出发到集合 $V - S$ 内任意一点 $v_{k}$ 可达的最短路径长度 $d i s t [k]$ ；若 $d i s t [k] > d i s t [j] + v a l u e < j, k >$ 则更新 $d i s t [k] = d i s t [j] + v a l u e < j, k >$ ，其中 $v a l u e < j, k >$ 代表 $v_{j}$ 到 $v_{k}$ 的权值。并把节点 { $d i s t [k], k$ } 加入队列中。

III. Code（PRIORITY）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define M(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std; 
typedef pair<int,int> pll; 
const int inf=2147483647;
const int N=1e6+10; 
int n,m,s,x,y,z;
struct Node {   //稀疏图用邻接表来存
	int to,w,nxt;
	Node() {
		to=nxt=w=0;
	}
	Node(int a,int b,int c) {
		to=a;
		nxt=b;
		w=c;
	}
}adj[N];
int head[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];   //如果true说明这个最短路径已经确定
priority_queue<pll,vector<pll>,greater<pll> >heap; 
inline void add(int x,int y,int z) {
	adj[++idx]=Node(y,head[x],z);
	head[x]=idx;
}
void dijkstra() {
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dist[i]=inf;
	dist[s]=0;
	heap.push(M(0,s));  //这个顺序不能倒
	while(!heap.empty()) {
		pll k=heap.top();    //取不在集合S（V-S）中距离最近的点
		heap.pop();
		int u=k.second;
		int distance=k.first;
		if(st[u]) continue;
		st[u]=1;   //把该点加入集合S
		for(int i=head[u];i;i=adj[i].nxt) {
			int v=adj[i].to,w=adj[i].w;    //取出和ver相连的点和边权
			if(dist[v]>distance+w) {
				dist[v]=distance+w;    //更新最短路
				heap.push(M(dist[v],v));     //放入优先队列中
			}
		}
	} 
	return ;
}
signed main() {
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&s);
	while(m--) {
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
	}
	dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld ",dist[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

四、总结

时间复杂度分析：

$n$ 为图中顶点的数量， $m$ 为图中边的数目。

邻接矩阵储存图： $O (n^{2})$
邻接表储存图： $O (n^{2})$ （虽然修改 $d i s t$ 的时间可以减少，但是由于在 $d i s t$ 中选择最小分量的时间不变）
堆优化： $O (m \log n)$

若图为稀疏图，一般采用邻接表来储存，反之则适用邻接矩阵储存图。

不适用条件

当图中含有负边权时，Dijkstra 算法将不适用。（ Dijkstra 算法是基于贪心的）。

题库

对于练习 Dijkstra 这求单源最短路的题，变式题型很多，并没有针对的练习，可以自行浅浅练练，如实在没有方向的也可以参考一下我练习计划的题单洛谷【迪杰斯塔拉】 ID：970993

posted @ 2023-08-04 19:12 Fireworks_Rise 阅读(34) 评论(0) 编辑收藏举报来源

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