背包 CF730J Bottles 题解

【动态规划 背包】CF730J Bottles

• 前言
• Bottles
• • 题目
  • • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
  • 样例 #1
  • • 样例输入 #1
    • 样例输出 #1
  • 样例 #2
  • • 样例输入 #2
    • 样例输出 #2
  • 样例 #3
  • • 样例输入 #3
    • 样例输出 #3
  • 提示
  • 题解
  • • 题意
    • 流程
    • • I. 最小瓶子数（简单贪心）
      • II. 最小时间
    • Code ( AC , 100ps )

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前言

此乃小 Oler 的一篇小小题解，从今日后，还会进行详细的修订。

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Bottles

题目

源自 洛谷 CF730J Bottles

题目描述

有 $n$ 瓶水，第 $i$ 瓶水的水量为 $a_i$，容量为 $b_i$。将 $1$ 单位水从一个瓶子转移到另一个瓶子所消耗时间为 $1$ 秒，且可以进行无限次转移。求储存所有水所需最小瓶子数 $k$ 以及该情况下所用最小时间 $t$ 。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$（$1\le n\le 100$）。

第二行输入 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示 $a_i$（$1\le a_i\le 100$）。

第三行输入 $n$ 个正整数，第 $i$ 个正整数表示 $b_i$（$1\le b_i\le 100$）。

对于每一个 $i$，满足$a_i\le b_i$ 。

输出格式

输出一行两个整数：$k$ 和 $t$ 。

样例 #1

样例输入 #1

4
3 3 4 3
4 7 6 5

样例输出 #1

2 6

样例 #2

样例输入 #2

2
1 1
100 100

样例输出 #2

1 1

样例 #3

样例输入 #3

5
10 30 5 6 24
10 41 7 8 24

样例输出 #3

3 11

提示

在第一个例子中， Nick 可以将苏打水从第一个瓶子倒到第二个瓶子。这需要 $3$ 秒钟。在它之后，第二瓶将包含 $3+3=6$ 单位的苏打水。然后他可以把苏打水从第四瓶倒到第二瓶，再倒到第三瓶：一个单位到第二个，两个单位到三个。这将花费 $1+2=3$ 秒。所以，所有的苏打水都装在两个瓶子里，他会花 $3+3=6$ 秒来做。

题解

题意

每个水瓶有两个值，一个是初始时水瓶中的水量 $val$ ，一个是水瓶的容量 $v$ ，求通过转移，储存所有水所需最小瓶子数 $k$ 以及该情况下转移所用最小时间 $t$ 。

流程

I. 最小瓶子数（简单贪心）

• 1. 求所有水瓶中的水量之和 $sum$
• 2. 把每个水瓶按容量从大到小排序
• 3. 依次取出容量大的水瓶，直到取到大于 $sum$ 为止
• 4. 把最小瓶子数存入 $res$ 中

II. 最小时间

• 定义 $f_{i,j,k}$ 为考虑前 $i$ 个水瓶，选了 $j$ 个水瓶，容量是 $k$ 时水量最大值。

f i , j , k = max ⁡ { f i − 1 , j , k → 不选 f i − 1 , j − 1 , k − v + v a l → 选 f_{i,j,k} = \max $$\{\begin{array}{l}{f}_{i-1,j,k}\to \mathrm{不}\mathrm{选}\\ f_{i-1,j-1,k-v}+val\to \mathrm{选}\end{array}$$ fi,j,k​=max{fi−1,j,k​→不选fi−1,j−1,k−v​+val→选​

由于数据比较大，如果直接开数组，会给你个惊喜的 MLE ！！！

想到我们使用的是背包思想，所以可以省略第一维，即修改状态定义为 $f_{j,k}$ ，选了 $j$ 个水瓶，容量是 $k$ 时水量和的最大值，但要注意在枚举选了 $j$ 个水瓶的循环时需倒序进行。

由于要求的是在取最少个瓶子情况下的最优解，就是说明选几个水瓶是已经确定的了，即 $res$ ，最后枚举容量为 $i$ 时的水量最大值 $f_{res,i}$ ，取其中的最大值，题目并没有要求转移水量的顺序，则可以随意转移，所以用原来所有水瓶中的水量和和减去选中的水瓶中的水量和（需要转移的水量），就是最小时间。

下面贴上蒟蒻的代码…

Code ( AC , 100ps )

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=101;
int n,ans,f[N][N*N];
int sum,res,sum2;
struct Node {
	int a,b;
}d[N];
bool cmp(Node x,Node y) {
	return x.b>y.b;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&d[i].a);
		sum+=d[i].a;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&d[i].b);
		sum2+=d[i].b;
	}
	sort(d+1,d+n+1,cmp);
	int t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		t+=d[i].b,res++;
		if(t>=sum) break;
	}
	memset(f,-0x3f3f3f3f,sizeof f);
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=i;j>=1;j--) {
			for(int k=j*100;k>=d[i].b;k--)
				f[j][k]=max(f[j-1][k-d[i].b]+d[i].a,f[j][k]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=sum;i<=sum2;i++)
		ans=max(ans,f[res][i]);
	printf("%d %d\n",res,sum-ans);
	return 0;
}

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