浅谈线段树

1 前言

线段树一直是高频考点，可以直接出也可以作为数据结构优化其他算法。这里我只想说说线段树的基本理解以及如何构造，也就是如何写出信息和标记，信息之间的合并，标记之间的复合，信息和标记之间的复合。以及矩阵的辅助理解，区间最值、历史版本相关问题。

2 线段树

线段树运用了分治的思想，将每个大区间分成两个小的区间。每个区间都有自己的信息，为儿子两个区间信息的合并。

2.1 单点修改#

如果我们有这样一个问题：

1. 单点加
2. 区间和

在线的情况下，如果是暴力，单点修改是 $O(1)$，但区间和是 $O(n)$。而用了线段树就将复杂度平均了，均为 $O(\log n)$。

这是单点修改的情况。但出现区间修改，定位到每个点的话，单次复杂度就是 $O(n\log n)$，不如暴力。

2.2 区间修改#

我们先需要找到线段树上所有完全包含于目标区间的极大区间，修改这些即可。此时要是能用线段树，信息要能够直接计算出来。至于上面的节点回溯时合并信息即可。

如果所有询问都与这些极大区间以下的节点无关，那么答案还是正确的。

但是下面的节点怎么办？它们没有立马被修改操作所影响。此时可以在极大区间上打一个标记，表示该区间以下的所有节点都没有被标记所影响。

如果询问或修改下面的节点，就把标记下传，同时更新出应有的信息，此时的答案和修改就是正确的。

这样就将修改均摊给了所有询问。但此时也面临着问题。我们需要找到一种标记的描述，使得任何时刻它都等价于还未下传的修改造成的影响，下传后能够直接计算出子节点当前的信息。同时，如果下传时遇到了另一个标记（此时一定有先后顺序，由标记的下传的时刻可以得出，即下传的一定在后面），那么两个标记要能够复合成一个，这个新的标记等价于两个标记先后对区间的影响。

如果能够找到这样的标记，可以与信息复合、与标记复合，那么就可以用普通线段树实现。

2.3 标记与信息#

抽象的说，信息与标记都是一个半群，设信息为 $D$，标记为 $M$，而我们要思考的就是 $D+D\to D$，$D\times M\to D$，$M\times M\to M$。

有些题目难在信息的合并，有些难在标记的复合。而标记的复合一般来说会更难，因为并不是简单的相加，而是将两个标记融为一体，如果你的标记内容过少，就会难以复合成新的标记。

信息一般至少要有询问的答案，而复合一般是增量。举个不算难的例子：

1. 区间加
2. 区间乘
3. 区间覆盖
4. 区间询问和

先考虑加乘。显然信息就是区间和。那么标记可以只维护单单一个增量吗？难以复合。因为加乘会相互影响，具体的：$((a\times b+c)\times d+e=bd\cdot a+cd+e$。所以我们至少要维护两个量，并规定两者的先后顺序。我们规定标记为 $(a,b)$ 表示所有数先整体乘 $a$ 再加 $b$。那么上面可以写成 $(b,c)\times (d,e)=(bd,cd+e)$。看出来了吗？系数就是两个乘法标记相乘，而加法标记也可以直接写出。

为什么是先乘后加？$(a+b)\times c+d$ 会被认为 $(a+b+d)\times c$，如果要等价就要写成 $(a+b+\frac{d}{c})\times c$。涉及除法影响精度。

再考虑覆盖操作，只用一个标记 $c$ 表示覆盖的数即可。一般认为先加乘再覆盖，所以最终的标记就是 $(a,b,c)$ 表示先乘再加最后覆盖。写成代码：

tag merge(tag x, tag y) { //b->a
 	if(x.c) { //如果前面有覆盖操作，那么整个操作就可以看成复合
 		x.c = x.c * y.a + y.b;	
	} else {
		x.a *= y.a;
		x.b = x.b * y.a + y.b;
	}
	if(y.c) x.c = y.c; //如果后面有覆盖，最后就覆盖了
}

2.4 矩阵#

如果能够将信息看作向量，每一个修改看作一个矩阵，那么用线段树直接维护矩阵是第一选择。为什么可以这样做？因为矩阵天然满足结合律，所以所有标记的复合就是矩阵乘法，不需要思考。

普通的矩阵是 $(\times ,+)$ 矩阵，广义矩阵可以是 $(+,max)$ 同样有结合律。而广义矩阵通常用在维护最值问题中。矩阵直接用一般来说常数会很大，是因为暴力矩乘的原因，但它本质上就是维护一堆标记。所以找到矩乘中冗余的转移，手动做矩乘不会超时了。

所以说矩阵是方便我们推式子和理解，写的时候不一定要直接写。

例题：P4314 CPU 监控 、[NOIP2022] 比赛。

3 区间最值相关

一个例题：

1. 区间取最小值
2. 区间加
3. 求区间和

这类问题的特点就是修改操作有区间取最值，定位到的区间无法快速统计信息。考虑维护区间最大值 $mx$ 与严格次小值 $se$。然后对于 $1$ 操作 $x$ 分类讨论：

1. 如果 $mx\le x$，那么没有任何影响，退出。
2. 如果 $se<mx<x$，那么唯一修改的就是所有最大值，此时维护一下区间最大值数量 $ct$ 就可以快速维护总和。
3. 否则继续向下递归。

可以证明这样的复杂度是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的。

这样做，标记怎么构造？我们将数分为最大值和非最大值，每一部分有不同的增量，分别维护即可。具体的，维护 $(a,b)$ 表示最大值的增量与非最大值的增量，下传时注意最大值的增量只能下传给两个儿子的最大值（相同则一起下传），如果不是最大值就下传非最大值的增量。

void pd(int u) {
	int mx = std::max(t[u << 1].mx, t[u << 1 | 1].mx);
	if(mx == t[u << 1].mx) {
		mdf(u << 1, add1[u], add2[u]);
	} else mdf(u << 1, add1[u], add2[u]);
	if(mx == t[u << 1].mx) {
		mdf(u << 1 | 1, add1[u], add2[u]);
	} else mdf(u << 1 | 1, add1[u], add2[u]);
}

如果询问多一个区间最大值，因为操作 $1$ 定位到的区间最值一定会修改成 $x$，子节点也是 $x$，并且区间加并不影响该区间最值，所以也容易快速维护。

这里包含最值操作的主要思想就是将最值操作转变为了加减操作，是我们熟悉的。

4 历史版本问题

每次询问不止问当前的信息，还需要询问历史信息相关。可以看作多了一个数组 $B$ 需要维护。

通常维护的历史版本信息有历史最大值、历史最小值、历史版本和。

而历史最值的维护方法一般要维护最大/小版本增量标记。

4.1 不含最值操作#

询问是历史最大值、最小值，可以用普通线段树维护，如 P4314 CPU 监控。

对于修改是区间加减，求历史最大值的和、历史最小值的和、历史版本和。这里有三种转化方法。

4.1.1 历史最大值#

定义数组 $C_i=A_i-B_i$，此时 $C_i$ 显然是非正的，一次区间加减操作对 $C$ 的影响便是 $min(A_i+x,0)$。

那么维护 $C$ 数组就是上文提到的问题了，吉司机线段树实现，复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

4.1.2 历史最小值#

同理，定义数组 $C_i=A_i-B_i$，此时 $C_i$ 显然是非负的，一次区间加减操作对 $C$ 的影响便是 $max(A_i+x,0)$。

复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

4.1.2 历史版本和#

这个根本不涉及最值操作，直接打标记就可以做了。复杂度 $O(n\log n)$。

4.2 含有区间最值操作#

如果含有区间最值操作，就用吉司机线段树将最值操作化为区间加减问题，就可以打 tag 维护了。