C. 字符序列

简要题意：有一个函数 $f(c,s)=c{s}_{1}c{s}_{2}c{s}_3\cdots c{s}_{n}c$。给出操作序列 $c_i$，每次操作使 $s=f(c_i,s)$（$s$ 开始为空串），求最后的字符串中有多少个本质不同的子序列。

数据范围： $n\le 500$。

首先我们可以考虑一个简化经典问题，已知一个字符串，求本质不同的子序列数量。

因为我们需要把所有本质不同的子序列在字符串中找到唯一的映射，所以我们贪心的钦定每个字符都取字符串中第一个出现的，而不取第二次出现的。

可设 $f_{i,j}$ 表示考虑完了 $i\cdots n$ 的字符，开头为 $j$ 的本质不同子序列数量。

$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i+1,j}& a_i\ne j\\ \sum _c{f}_{i+1,c}+1& a_i=j\end{array}$

假如已知这个字符串，$O(N|\sum |)$ 转移即可。放在这题中可以得到 50pts。

考虑正解，显然字符串非常大，无法求出，我们观察每次操作的字符串之间有什么规律。

a
bab
cbcacbc
dcdbdcdadcdbdcd

我们容易发现，若设 $T_i$ 为 $i$ 到 $n$ 操作后的序列，那么字符串的变化可以写成 $T_i=T_{i+1}+c_i+T_{i+1}$。最终字符串即为 $T_1$。

回到 $dp$，转移方程为求和的形式，只由 $i+1$ 转移过来，容易写成矩阵转移的形式，虽然在已知字符串的情况下复杂度为 $O(N{|\sum |}^3)$，但是它不需要顺推，在对于有规律的字符串变化中可以直接矩阵转移。

复杂度为 $O(n{|\sum |}^3)$。