P2964 [USACO09NOV] A Coin Game S （博弈论 dp）

P2964 [USACO09NOV] A Coin Game S

博弈论 dp（乱取的）

两个人都希望自己的价值最大，可以认为他俩是等价的。考虑设计 dp 状态，设 $f_{i,j}$ 表示考虑了前 $i-1$ 个，现在的先手 $[i,i+j-1]$ 个，他之后能得到的最大价值。转移肯定是从 $f_{i+j,k}$ 转移过来，并且 $1\le k\le 2j$。因为两个人都绝对聪明，所以 $f_{i+j,k}$ 取 $max$。

$$f_{i,j}=su{m}_{i,n}-\underset{1\le k\le 2j}{max}{f}_{i+j,k}$$

容易看出后面是一个前缀 $max$ 的形式，预处理 $g_{i,j}$ 表示 $f_i$ 的前缀 $max$ 即可。最后的答案就是 $max(f_{1,1},f_{1,2})$。

复杂度降到 $O(n^2)$，本题的空间范围小，需要将 $f$ 数组滚动。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define mk std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e3 + 10;
int n;
int f[2][N], a[N], s[N], g[N][N];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	std::cin >> n;

	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> a[i];
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	}

	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		for(int j = 1; i + j - 1 <= n; j++) {
			f[i & 1][j] = (s[n] - s[i - 1]) - g[i + j][j << 1];
		}

		for(int j = 1; j <= n; j++) g[i][j] = std::max(g[i][j - 1], f[i & 1][j]);
	}

	std::cout << std::max(f[1][1], f[1][2]) << "\n";

	return 0;
}