P2964 [USACO09NOV] A Coin Game S （博弈论 dp）

P2964 [USACO09NOV] A Coin Game S

博弈论 dp（乱取的）

两个人都希望自己的价值最大，可以认为他俩是等价的。考虑设计 dp 状态，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑了前 \(i-1\) 个，现在的先手 \([i,i+j-1]\) 个，他之后能得到的最大价值。转移肯定是从 \(f_{i+j,k}\) 转移过来，并且 \(1\le k\le 2j\)。因为两个人都绝对聪明，所以 \(f_{i+j,k}\) 取 \(\max\)。

\[f_{i,j}=sum_{i,n}-\max\limits_{1\le k \le 2j} f_{i+j,k} \]

容易看出后面是一个前缀 \(\max\) 的形式，预处理 \(g_{i,j}\) 表示 \(f_{i}\) 的前缀 \(\max\) 即可。最后的答案就是 \(\max(f_{1,1},f_{1,2})\)。

复杂度降到 \(O(n^2)\)，本题的空间范围小，需要将 \(f\) 数组滚动。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define mk std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e3 + 10;
int n;
int f[2][N], a[N], s[N], g[N][N];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	std::cin >> n;

	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> a[i];
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	}

	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		for(int j = 1; i + j - 1 <= n; j++) {
			f[i & 1][j] = (s[n] - s[i - 1]) - g[i + j][j << 1];
		}

		for(int j = 1; j <= n; j++) g[i][j] = std::max(g[i][j - 1], f[i & 1][j]);
	}

	std::cout << std::max(f[1][1], f[1][2]) << "\n";

	return 0;
}