P9565 [SDCPC2023] Not Another Path Query Problem （位运算+并查集）

P9565 [SDCPC2023] Not Another Path Query Problem

位运算+并查集

从价值至少为 $V$ 入手，枚举一段二进制上长为 $i$ 的前缀，第 $i+1$ 位取 $1$，并且比 $V$ 要大，这样 $i+1$ 之后的位就可以任意取了（不妨现在都先为 $0$），设这样构成的二进制串为 $s$。

考虑按位与的性质，随着路径增加，价值不增。并且如果想要二进制上其中一位为 $1$，那么路径上所有边的二进制上这一位都得是 $1$。回到上面枚举的 $s$，不妨固定我们需要 $s$ 上的所有 $1$，那么满足条件的边就是二进制上至少有这些 $1$ 的边。这些边集与所有点构成一张新的图，如果 $u$ 和 $v$ 在这张图上连通，那么就可以找到一条满足条件的路径，使得价值 $\ge s\ge v$。

判断连通性，用并查集。最多有 $60$ 个边集，只需要其中一个连通即可。记得开 longlong！

复杂度 $O(m\log n)$。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define mk std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 5e5 + 10;
i64 n, m, q, V;
struct node {
	i64 u, v, w;
} e[N];
std::vector<int> v[61];
struct DSU {
	int fa[N];
	void init(int n) {for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;}
	int find(int x) {
		return x != fa[x] ? fa[x] = find(fa[x]) : fa[x];
	}
	void merge(int x, int y) {
		if(x == y) return;
		fa[x] = y;
 	}
} dsu[61];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	std::cin >> n >> m >> q >> V;

	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		std::cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
	}

	for(i64 i = 60; i >= 0; i--) {
		dsu[i].init(n);
		i64 s = 0;
		if(i && ((V >> (i - 1)) & 1LL)) continue;

		if(i) s |= (1LL << (i - 1));
		for(i64 j = 59; j >= i; j--) {
			s |= ((1LL << j) & V);
		}
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			i64 w = e[j].w;
			if((s & w) == s) v[i].pb(j);
		}
		
		for(auto id : v[i]) {
			int x = dsu[i].find(e[id].u), y = dsu[i].find(e[id].v);
			dsu[i].merge(x, y);
		}
	}	

	while(q--) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;

		bool flg = 0;
		for(int i = 60; i >= 0; i--) {
			if(dsu[i].find(u) == dsu[i].find(v)) {
				flg = 1;
				break;
			}
		}

		std::cout << (flg ? "Yes\n" : "No\n");
	}
	return 0;
}