[Hackerrank University Codesprint 5] Sword profit （李超线段树）

[Hackerrank University Codesprint 5] Sword profit

李超线段树

考虑大力推式子。写出在第 $i$ 所商店的第 $k$ 把剑在第 $j$ 所商店卖掉的价格。

profit = max (0, q_{i} - (j - i) \cdot d_{i} - r_{j}) - (a_{i} + k \cdot b_{i})

显然利益一定要是正的才有价值，所以 $max$ 可以改到：

profit = max (0, q_{i} - (j - i) \cdot d_{i} - r_{j} - (a_{i} + k \cdot b_{i}))

小于 $0$ 可以特判掉，先去掉 $max$ ，然后整理一下式子。

profit = q_{i} + i \cdot d_{i} - a_{i} - k \cdot b_{i} - (j \cdot b_{i} + r_{i})

前面的部分是这把剑的固有贡献，我们只需要将后面的部分最小化。容易看出后面的部分是一条 $k = j$ ， $b = r_{i}$ 的线段，定义域为 $[1, max (b_{i})]$ 。而我们要求的就是 $x = b_{i}$ 时所有线段的最小值。这是一个经典问题，可以用李超线段树解决。

关于 $k$ ，就是能获得利益的最多的剑数。

从大到小枚举商店，每次先加入线段，再查询即可。

复杂度 $O (n \log^{2} n)$ 。

#include <bits/stdc++.h> 
#define pii std::pair<int, int>
#define mk std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const i64 N = 3e5 + 10, mod = 1e9 + 7, inv = (mod + 1) / 2;
i64 n, ans, m, cnt;
i64 q[N], a[N], b[N], r[N], d[N];
struct line {
	i64 k, b;
} f[N];
int t[N << 2];
i64 calc(int id, i64 x) {
	if(!id) return linf;
	return 1LL * f[id].k * x + f[id].b;
}
void mdf(int u, int l, int r, int x) {
	int mid = (l + r) >> 1;
	bool bmid = (calc(x, mid) <= calc(t[u], mid));
	if(bmid) std::swap(t[u], x);
	bool bl = (calc(x, l) < calc(t[u], l)), br = (calc(x, r) < calc(t[u], r));
	if(bl) mdf(u << 1, l, mid, x);
	if(br) mdf(u << 1 | 1, mid + 1, r, x);
}
void upd(int u, int l, int r, int L, int R, int x) {
	if(L <= l && r <= R) {
		mdf(u, l, r, x);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(L <= mid) upd(u << 1, l, mid, L, R, x);
	if(R > mid) upd(u << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
}
int mn(int x, int y, int z) {
	bool ret = (calc(x, z) <= calc(y, z));
	if(ret) return x;
	return y;
}
int qry(int u, int l, int r, int x) {
	if(l == r) return t[u];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(x <= mid) return mn(t[u], qry(u << 1, l, mid, x), x);
	else return mn(t[u], qry(u << 1 | 1, mid + 1, r, x), x);
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
	std::cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> q[i] >> a[i] >> b[i] >> r[i] >> d[i];
		m = std::max(m, d[i]);
	}

	for(i64 i = n; i >= 1; i--) {
		f[++cnt].k = i, f[cnt].b = r[i];
		upd(1, 1, m, 1, m, cnt);
		i64 p = qry(1, 1, m, d[i]);
		if(p) {
			i64 tot = q[i] + i * d[i] - a[i] - calc(p, d[i]), k = std::max(0LL, tot / b[i]) % mod; //特判
			if(k) ans = (ans + tot % mod * k % mod - 1LL * (1 + k) % mod * k % mod * inv % mod * b[i] % mod + mod) % mod;
		}
	}
	std::cout << ans << "\n";

	return 0;
}