CF1730F Almost Sorted （状压 dp）

CF1730F Almost Sorted

状压 dp

题目的描述有点奇怪，实际上就是将 $p$ 在满足要求的情况下重排列，求下标的逆序对最小值。

根据条件，我们猜测前面的数都不会很大，于是考虑从左到右插入值，若当前插入的值为 $a_i$，那么由限制条件可知，前面放的数都 $\le a_i+k$，同时 $\le a_i$ 的部分一定已经放完了（否则放后面不满足条件）。所以在任何时刻，若当前最右端的值为 $a_i$，那么一定使用了 $[1,a_i]$，可能使用过 $[a_i+1,a_i+k+1]$。

考虑 dp。$[1,a_i]$ 的部分作为阶段，状压 $[a_i+1,a_i+k+1]$ 的部分，所以设 $f_{i,s}$ 表示当前已经放完了 $[1,a_i]$，$[a_i+1,a_i+k+1]$ 的使用情况为 $s$，下标的最小逆序对数。

转移考虑枚举下一个要放的数，并处理出对应增加的逆序对数，$[1,a_i]$ 的部分可以转移的时候预处理，状态 $s$ 的部分直接暴力枚举累加即可。

复杂度 $O(n^2+n{2}^k{k}^2)$。

PS：可以用 BIT 将 $n^2$ 优化成 $n\log n$。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 5e3 + 10, K = 9;
int n, k, lim;
int pos[N], sum[N];
int f[N][1 << K];
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	std::cin >> n >> k;
	k++;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int p;
		std::cin >> p;
		pos[p] = i;
	}
	lim = (1 << k) - 1;
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[0][0] = 0;
	for(int i = 0; i <= n; i++) {
		if(i) {
			for(int j = 1; j < pos[i]; j++) sum[j]++;
		}
		for(int s = 0; s <= lim; s++) {
			if(f[i][s] == iinf) continue;
			for(int j = 1; j <= k && i + j <= n; j++) {
				if(!(s >> (j - 1) & 1)) {
					int p = i, t = s | (1 << (j - 1)), val = sum[pos[i + j]];
					while(t & 1) {
						p++;
						t >>= 1;
					}
					for(int x = 1; x <= k && i + x <= n; x++) if((s >> (x - 1) & 1) && pos[i + x] > pos[i + j]) val++;
					f[p][t] = std::min(f[p][t], f[i][s] + val);  
				}
			}
		}
	}
	std::cout << f[n][0] << "\n";
	return 0;
}