P6239 [JXOI2012] 奇怪的道路 （状压 dp）

P6239 [JXOI2012] 奇怪的道路

状压 dp

题目的限制可以把图拍成一个序列，在序列上考虑连边。求方案数，考虑 dp。观察到 $k$ 的大小、每个位置只有奇偶性和边数限制，可以设 $f_{i,j,s}$ 表示考虑完前 $i$ 个点，连了 $j$ 条边，$[1,i]$ 的度数状态为二进制 $s$，此时 $[1,i-k]$ 已经无法连边，所以奇偶性一定是 $0$。

考虑转移，枚举最后一次 $i$ 往前的连边，有 $f_{i,j,s}=f_{i,j,s}+f_{i,j-1,s\cap 1\cap 2^x}$。这里由于是无向边，所以我们钦定由编号大的点连向编号小的点。

此时转移还不够，你会发现状态 $i$ 根本没用到，因为少了状态 $i$ 要平移到 $i+1$ 上，即 $f_{i+1,j,s\times 2}=f_{i,j,s}$。

初始化 $f_{1,0,0}=1$，答案 $f_{n,m,0}$。复杂度 $O(n^{2}k{2}^k)$。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 32, K = 9, mod = 1e9 + 7;
int n, m, k;
int f[N][N][1 << K];
void solve() {
	std::cin >> n >> m >> k;

	f[1][0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int x = std::max(1, i - k); x < i; x++) {
			for(int j = 1; j <= m; j++) {
				for(int s = 0; s < (1 << (k + 1)); s++) {
					f[i][j][s] = (f[i][j][s] + f[i][j - 1][s ^ 1 ^ (1 << i - x)]) % mod;
				}
			}
		}
		for(int j = 0; j <= m; j++) {
			for(int s = 0; s < (1 << k); s++) {
				f[i + 1][j][s << 1] = (f[i + 1][j][s << 1] + f[i][j][s]) % mod;
			}
		}
	}
	std::cout << f[n][m][0] << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	solve();

	return 0;
}