P3349 [ZJOI2016] 小星星 （树形 dp+子集反演）

P3349 [ZJOI2016] 小星星

树形 dp+子集反演

有一张图和一棵树，点数都为 \(n\)，给树上的每个点一个映射 \(a_i\)，每个 \(a_i\) 不同，\(a_i\in[1,n]\)。要求对于树上所有 \((u,v)\)，都有 \((a_u,a_v)\) 在图上。求映射方案数。

看到 \(n\) 的范围，可以想到树形状压 dp。设 \(F_{i,j,S}\) 表示 \(i\) 节点映射 \(a_i=j\)，\(i\) 子树中映射集合为 \(S\) （每个元素至多使用一次）的方案数。

转移枚举不相交的子集合并。复杂度 \(O(n^33^n)\)。

瓶颈在于枚举子集，考虑弱化 \(S\) 的限制，改成至多使用 \(S\) 中的元素。现在可以考虑子集反演，设 \(f(S)\) 表示使用 \(S\) 中的所有元素的方案数，\(g(S)\) 表示至多使用 \(S\) 中的元素的方案数。易得关系：

\[g(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T) \]

根据子集反演，得

\[f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}g(T) \]

那么最终答案就是 \(f(V)\)，\(V={1\cdots n}\)。接下来考虑怎么求 \(g(T)\)。由于上面的 dp 弱化了条件，转移变成

\[F_{i,j,S}=\prod_{v\in son_{i}}\sum_{j\in S}F_{v,j,S} \]

复杂度 \(O(n^3)\)。所以每次枚举 \(S\)，dfs 一次，\(g(S)=\sum_{j\in S}F_{1,j,S}\)。

总复杂度 \(O(n^32^n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 20;
int n, m;
i64 f[N][N], g[N][N];
int popcnt[1 << N];
std::vector<int> e[N], now;
void dfs(int u, int fa) {
	for(auto v : e[u]) {
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u);
	}
	for(auto i : now) {
		f[u][i] = 1;
		for(auto v : e[u]) {
			if(v == fa) continue;
			i64 sum = 0;
			for(auto j : now) {
				if(!g[i][j]) continue;
				sum += f[v][j];
			}
			f[u][i] *= sum;
		}
	}
}
void solve() {
	std::cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;
		g[u][v] = g[v][u] = 1;
	}
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;
		e[u].pb(v), e[v].pb(u);
	}
	i64 lim = (1 << n), ans = 0;
	for(int i = 0; i < lim; i++) popcnt[i] = popcnt[i >> 1] + (i & 1);
	for(int s = 0; s < lim; s++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= n; j++) f[i][j] = 0;
		}
		now.clear();
		for(int i = 1; i <= n; i++) 
			if(s & (1 << (i - 1))) now.pb(i);
		dfs(1, 0);
		i64 sum = 0;
		for(auto x : now) sum += f[1][x];
		ans += (((n - popcnt[s]) & 1) ? -1 : 1) * sum;  
	}
	std::cout << ans << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	solve();

	return 0;
}