P2606 [ZJOI2010] 排列计数 （树形 dp）

P2606 [ZJOI2010] 排列计数

树形 dp

序列中每个位置的限制只有另外一个位置，那么我们将这样的限制连线，就可以得到一棵树。在这题中，这棵树刚好是小根堆，一棵完全二叉树。题目就转化为一共有多少种小根堆。

那么显然的 \(a_1=1\)，然后左子树和右子树分剩下的 \([2,n]\)，并且左右子树不互相影响。考虑 dp。设 \(f_i\) 表示 \(i\) 节点的方案数，转移就是枚举左子树选的点，\(f_i=C(sz_{i}-1,sz_{i\times2})\times f_{i\times2}\times f_{i\times2+1}\)。

这里模数小，用 lucas 求组合数。复杂度 \(O(n\log V)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e6 + 10;
i64 qpow(i64 a, i64 b, i64 m) {
	i64 ret = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ret = ret * a % m;
		a = a * a % m;
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}
i64 n, mod;
struct BIN {
	i64 fac[N], inv[N];
	void init(int n) {
		fac[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
		inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2, mod);
		for(int i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	i64 C(i64 n, i64 m) {
		if(n < m) return 0;
		return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
	}
	i64 C2(i64 n, i64 m) {
		if(n < m) return 0;	
		return fac[n] * qpow(fac[m], mod - 2, mod) % mod * qpow(fac[n - m], mod - 2, mod) % mod;
	}
	i64 lucas(i64 n, i64 m){
		if(!m) return 1;
		return C2(n % mod, m % mod) * lucas(n / mod, m / mod) % mod;
	}
} comb;
i64 sz[N], f[N];
void solve() {
	std::cin >> n >> mod;
	comb.init(N - 10);

	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		sz[i] = sz[i * 2] + sz[i * 2 + 1] + 1;
	}
	for(int i = n + 1; i <= 2 * n + 1; i++) f[i] = 1;
	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		f[i] = comb.lucas(sz[i] - 1, sz[i * 2]) * f[i * 2] % mod * f[i * 2 + 1] % mod;
	}
	std::cout << f[1] << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	solve();

	return 0;
}