P4859 已经没有什么好害怕的了 （二项式反演+dp）

P4859 已经没有什么好害怕的了

二项式反演+dp

看到恰好，求方案数，可以想到二项式反演。

套路钦定 \(k\) 组糖果比药片能量大，其他任意组合，这样的方案数记为 \(g_k\)。再设 \(f_k\) 表示恰好 \(k\) 组的糖果比药片能量大的方案数，现在要找到 \(g\) 和 \(f\) 之间的关系。容易推出 \(g_k=\sum_{i=k}^nC(i,k)f_k\)。

那么根据二项式反演，\(g_k=\sum_{i=k}^nC(i,k)f_i\Rightarrow f_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C(i,k)g_i\)，现在的目的是求出 \(g_i\)。

对于比较元素大小的序列问题，可以将他们排序，这样子可能会得到更多性质，比如每个 \(a\) 比 \(b\) 大的位置（这里说成控制范围）都是一端前缀，并且 \(a_{i-1}\) 的控制范围包含于 \(a_i\) 。方案数考虑 dp，设 \(F_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 个，选择了 \(j\) 组 \(a>b\) 的方案数。那么转移写成：\(F_{i,j}=F_{i-1,j}+(r-i+1)\times F_{i-1,j-1}\)。\(r\) 表示 \(a_i\) 的控制范围。

那么得出 \(g_i=(n-i)!\times F_{n,i}\)。组合数计算即可。复杂度 \(O(n\log V)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

using i64 = long long;
using ull = unsigned long long;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e3 + 10, mod = 1e9 + 9;
i64 n, k, ans;
i64 a[N], b[N], f[N][N];
i64 qpow(i64 a, i64 b, i64 m) {
	i64 ret = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ret = ret * a % m;
		a = a * a % m;
		b >>= 1;
	}
	return ret;
}
struct BIN {
	i64 fac[N], inv[N];
	void init(int n) {
		fac[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
		inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2, mod);
		for(int i = n - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	i64 C(i64 n, i64 m) {
		if(n < m) return 0;
		return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
	}
} comb;
void solve() {
	comb.init(N - 10);
	std::cin >> n >> k;
	k = (n + k) >> 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> a[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> b[i];
	}
	std::sort(a + 1, a + n + 1);
	std::sort(b + 1, b + n + 1);
	int r = 1;
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		while(r <= n && a[i] > b[r]) r++; r--;
		f[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= std::min(r, i); j++) {
			f[i][j] = (f[i - 1][j] + (r - j + 1) * f[i - 1][j - 1] % mod) % mod;
		}
	}
	for(int i = k; i <= n; i++) {
		ans = (ans + qpow(-1, i - k, mod) * comb.C(i, k) % mod * comb.fac[n - i] % mod * f[n][i] + mod) % mod;
	}
	std::cout << ans << "\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	solve();

	return 0;
}