C. 最大公约数 （线性筛求积性函数）

C. 最大公约数

求 $\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{n}{gcd(i,n)}}$。

先考虑用欧拉函数解决。考虑枚举 $d=gcd(i,n)$ 的取值。式子变成 $\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d]\cdot {\displaystyle \frac{n}{d}}$。

对于 $gcd(a,b)=d$，有 $gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$。

所以 $\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\cdot {\displaystyle \frac{n}{d}}$。

而明显，在 $\frac{n}{d}$ 中与它互质的数即为 $\phi (\frac{n}{d})$。

$\sum _{d\mid n}{\displaystyle \frac{n}{d}}\cdot \phi (\frac{n}{d})$

$=\sum _{d\mid n}d\cdot \phi (d)$

设 $f(n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \phi (d)$，可以证明，$f(n)$ 是积性函数。

证明：

$\because gcd(a,b)=1$

$\therefore$ $ab$ 的因子一部分来自 $a$，一部分来自 $b$。

$f(ab)=\sum _{d\mid ab}d\cdot \phi (d)=\sum _{d\mid a}\sum _{d^{\prime }\mid b}d{d}^{\prime }\cdot \phi (d{d}^{\prime })$

又 $\because \phi (d{d}^{\prime })=\phi (d)\phi (d^{\prime })$

$f(ab)=\sum _{d\mid n}d\cdot \phi (d)\sum _{d^{\prime }\mid n}{d}^{\prime }\cdot \phi (d^{\prime })=f(a)f(b)$

证毕。

直接线性筛计算积性函数即可。

关于如何计算，设 $x=i\times pr{i}_j$：

1. 当 $i$ 是质数时，$f(i)=i\times (i-1)+1$；

2. 当 $pr{i}_j\mid i$ 时，分两种情况，$i$ 不是最小质因数的幂次，$f(x)=f(lo{w}_x)f(x/lo{w}_x)$，$lo{w}_x$ 为 $x$ 的最小质因数的最大幂次；$i$ 是小质因数的幂次，一般有规律可以计算，因为因数易知，比如这里就可以写成 $f(x)=f(i)+pr{i}_j\cdot \phi (pr{i}_j)$。

3. 当 $pr{i}_j\nmid i$ 时，$f(x)=f(i)f(pr{i}_j)$。

总结：此类题的思路就是先化简式子，先看看能不能有欧拉函数做，再考虑莫反。最后证明此函数是积性函数，直接线性筛预处理做到 $O(n)$ 多次询问。