P7929 [COCI2021-2022#1] Logičari （基环树 dp）

P7929 [COCI2021-2022#1] Logičari

基环树 dp

基环树 dp 类似树形 dp，大致思路是把环断开，分类讨论之后树形 dp。

如果在树上做这题，设 $f_{u,0/1,0/1}$ 表示考虑到 $u$ 结点，$u$ 结点否/是染色、$f{a}_u$ 否/是染色的最小染色点数。转移有：

$f{a}_u$ 被染色了，$f_{u,0/1,1}=\sum f_{v,1,0/1}$。

$f{a}_u$ 没有被染色，这时候考虑 $val=\sum f_{v,1,0/1}$，枚举一个 $v$ 点染色，$f_{u,0/1,0}=min(val-f_{v,0,0/1}+f_{v,1,0/1})$。

在本题里，我们只需要额外讨论多出的一条边对点的染色情况的影响即可，这里需要多一些特判还需要把 dp 跑四次，分别固定了不同的染色情况。由于此题的状态较复杂，考虑用记忆化搜索跑 dp，更简洁。

建树操作用并查集维护。

复杂度 $O(n\log n)$，由于并查集。事实上，找环的操作可以 $O(n)$，只需要遍历时找到第一条非树边即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

typedef long long i64;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10;
int n, rt, rt2, rtc, rt2c;
i64 ans = iinf;
int fa[N], anc[N];
int find(int x) {
	if(x != fa[x]) fa[x] = find(fa[x]);
	return fa[x];
}
struct node {
	int to, nxt;
} e[N << 1];
int h[N], cnt;
void add(int u, int v) {
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = h[u];
	h[u] = cnt;
}
i64 f[N][2][2];
void dfs(int u, int fa) {
	anc[u] = fa;
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u);
	}
}
int dp(int u, int col, int fac) {
	if(f[u][col][fac] != -1) return f[u][col][fac];
	bool vis = 1;
	if(u == rt2 && col != rt2c) vis = 0; 
	if(u == rt2 && fac && rtc) vis = 0; 
	if(!vis) return f[u][col][fac] = iinf;
	i64 ret = iinf, sum = col;
	bool fg = 0; //记录此时儿子是否可以被染色
	if(fac) fg = 1;
	if(u == rt2 && rtc) fg = 1; //特判
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == anc[u]) continue;
		sum += dp(v, 0, col);
	}
	if(fg) {
		ret = std::min(ret, sum);
	} else {
		for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].to;
			if(v == anc[u]) continue;
			ret = std::min(ret, sum - dp(v, 0, col) + dp(v, 1, col));
		}
	}
	return f[u][col][fac] = ret;
}
void Solve() {
	std::cin >> n;

	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;
		int fu = find(u), fv = find(v);
		if(fu == fv) rt = u, rt2 = v;
		else {
			fa[fu] = fv;
			add(u, v), add(v, u);
		}
	}
	dfs(rt, 0);
	memset(f, -1, sizeof(f)), rtc = 0, rt2c = 0;
	dp(rt, rtc, rt2c);
	ans = std::min(ans, f[rt][rtc][rt2c]);
	memset(f, -1, sizeof(f)), rtc = 0, rt2c = 1;
	dp(rt, rtc, rt2c);
	ans = std::min(ans, f[rt][rtc][rt2c]);
	memset(f, -1, sizeof(f)), rtc = 1, rt2c = 0;
	dp(rt, rtc, rt2c);
	ans = std::min(ans, f[rt][rtc][rt2c]);
	memset(f, -1, sizeof(f)), rtc = 1, rt2c = 1;
	dp(rt, rtc, rt2c);
	ans = std::min(ans, f[rt][rtc][rt2c]);
	if(ans == iinf) std::cout << "-1\n";
	else std::cout << ans << "\n";
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	Solve();

	return 0;
}