P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

在这题里面讲一下线段树合并。顾名思义就是把多个线段树合并成一个。

显然完全二叉线段树（也就是普通线段树）是无法更高效的合并的，只能把所有节点加起来建个新树。但是在动态开点线段树中，有时候一个树只有几条链，这时候我们就是可以使用线段树合并了。

其核心就是只遍历两棵树重叠的部分实现合并。具体的，对于两棵线段树 \(p1\)，\(p2\)，我们要把 \(p2\) 合并到 \(p1\) 上。不妨先考虑左儿子，假如两个线段树都有左儿子，那么就往下遍历；假如只有 \(p1\) 有左儿子，显然不需要修改；假如只有 \(p2\) 有左儿子，\(p1\) 没有记录信息，那么只需要把 \(p1\) 左儿子的指针改成 \(p2\) 左儿子的指针即可。复杂度不会严格证明，一般所有线段树的总节点个数为 \(O(n\log n)\)，合并时遍历到的只有重叠部分，非重叠部分没有遍历，所以每个线段树的节点至多被遍历一次，所以时间复杂度是 \(O(n\log n)\)。

void mg(int p1, int p2, int l, int r) {
	if(l == r) {
		.....
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(t[p1].ls && t[p2].ls) mg(t[p1].ls, t[p2].ls, l, mid);
	else if(t[p2].ls) t[p1].ls = t[p2].ls;
	if(t[p1].rs && t[p2].rs) mg(t[p1].rs, t[p2].rs, mid + 1, r);
	else if(t[p2].rs) t[p1].rs = t[p2].rs;
	pushup(p1, t[p1].ls, t[p1].rs);
}

回到这题，容易想到树上差分，然后把操作拆成 \(4\) 个单点修改，离线在树上线段树合并即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

typedef long long i64;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, cnt;
int dep[100010], anc[100010][21], h[100010];
struct node{
	int to, nxt;
} e[200010];
void add(int u, int v) {
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = h[u];
	h[u] = cnt;
}
void dfs(int u, int fa) {
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		anc[v][0] = u;
		dep[v] = dep[u] + 1;
		dfs(v, u);
	} 
}
void init() {
	for(int j = 1; j <= 19; j++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			anc[i][j] = anc[anc[i][j - 1]][j - 1];
		}
	}
}
int lca(int u, int v) {
	if(dep[u] < dep[v]) std::swap(u, v);
	for(int i = 19; i >= 0; i--) if(dep[anc[u][i]] >= dep[v]) u = anc[u][i];
	if(u == v) return u;
	for(int i = 19; i >= 0; i--) if(anc[u][i] != anc[v][i]) u = anc[u][i], v = anc[v][i];
	return anc[u][0];
}
int tot;
std::vector<pii> ve[N];
struct seg {
	int ls, rs, mx, cnt;
} t[40 * N];
void pushup(int u, int ls, int rs) {
	if(t[ls].cnt >= t[rs].cnt && t[ls].cnt) {
		t[u].cnt = t[ls].cnt;
		t[u].mx = t[ls].mx;
	} else if(t[ls].cnt <= t[rs].cnt && t[rs].cnt) {
		t[u].cnt = t[rs].cnt;
		t[u].mx = t[rs].mx;
	} else {
		t[u].cnt = t[u].mx = 0;
	}
	return;
}
void ins(int &u, int l, int r, int x, int y) {
	if(!u) u = ++tot;
	if(l == r) {
		t[u].cnt += y;
		t[u].mx = t[u].cnt ? l : 0;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(x <= mid) ins(t[u].ls, l, mid, x, y);
	else ins(t[u].rs, mid + 1, r, x, y);
	pushup(u, t[u].ls, t[u].rs);
}
void mg(int p1, int p2, int l, int r) {
	if(l == r) {
		t[p1].cnt += t[p2].cnt;
		t[p1].mx = t[p1].cnt ? l : 0;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(t[p1].ls && t[p2].ls) mg(t[p1].ls, t[p2].ls, l, mid);
	else if(t[p2].ls) t[p1].ls = t[p2].ls;
	if(t[p1].rs && t[p2].rs) mg(t[p1].rs, t[p2].rs, mid + 1, r);
	else if(t[p2].rs) t[p1].rs = t[p2].rs;
	pushup(p1, t[p1].ls, t[p1].rs);
}
int ans[N];
void dfs2(int u, int fa) {
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs2(v, u);
		mg(u, v, 1, 1e5);
	}
	for(auto x : ve[u]) ins(u, 1, 1e5, x.fi, x.se);
	ans[u] = t[u].mx;
}
void Solve() {
	std::cin >> n >> m;
	tot = n;
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v;
		std::cin >> u >> v;
		add(u, v), add(v, u);
	}
	dep[1] = 1;
	dfs(1, 0);
	init();
	while(m--) {
		int u, v, w;
		std::cin >> u >> v >> w;
		int rt = lca(u, v);
		ve[u].push_back({w, 1}), ve[v].push_back({w, 1});
		ve[rt].push_back({w, -1}), ve[anc[rt][0]].push_back({w, -1});
	}
	dfs2(1, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++) std::cout << ans[i] << "\n";
}

int main() {
	
	Solve();

	return 0;
}