P9837 汪了个汪 （构造）

P9837 汪了个汪

人类智慧题，虽然看懂了，但还是想不出来。

考虑正解。$n$ 个不同的数的无序二元组有 ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ 个，而在棋盘上出现的无序二元组也有 ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ 个，这说明我们必须不重不漏的把所有无序二元组都放进棋盘。

对于构造题，我们需要对复杂的东西分类，显然对于每一个二元组，两数的差是固定的，所以我们以此来分类。差为 $1$ 的数对有 $n-1$ 个，差为 $2$ 的数对有 $n-2$ 个 $\cdots$ 依次类推。而我们发现对于棋盘，每行需要的数对的形式和二元组个数是一样的。我们希望找到规律，有规律的放置，首先考虑的是把差相同的放在一行，结果发现，根本放不下，因为 $(1,3)$，$(2,4)$ 等数对每对都需要两个位置。

但我们发现每一列的形式也一样，所以我们考虑把差相等的都放在同一列。这样对于行，不难想到用 $x$，$x+1$，$x-1$，$x+2$，$x-2$ 的方法来让相邻两个数的差递增。

$1$

$231$

$34251$

$45$

$5$

按长度排序，就是答案。复杂度 $O(n^2)$。

总结：感觉人类智慧题没啥好总结的，构造题我们可以对需要讨论的东西分类。唯一一个 trick 就是同一行的摆放，专业点叫做 zig-zag pattern。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
int read() {
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c)) {
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(isdigit(c)) {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (c - '0');
		c = getchar();
	} 
	return x * f;
}
int n, t;
struct node{
	int c[4010], len;
} a[4010];
bool cmp(node a, node b) {
	return a.len < b.len;
}
void Solve() {
	n = read(), t = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i].c[1] = i;
		int now = 1, pos = 1;
		while(now) {
			if(i + now <= n) a[i].c[++pos] = i + now;
			else break;
			if(i - now >= 1) a[i].c[++pos] = i - now;
			else break;
			now++;
		}
		a[i].len = pos;
	}
	std::sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= i; j++) {
			std::cout << a[i].c[j] << " ";
		}
		std::cout << "\n";
	}
}

int main() {
	
	Solve();

	return 0;
}