P5648 Mivik的神力 （卡常倍增，树状结构维护）

P5648 Mivik的神力

upd 2024.11.13

卡常倍增 或 树状结构维护

统计类问题，一般思路是找到数据结构维护关键信息。

这题拆不了式子，但是如果可以注意到前缀最大值的单调性，这时候就有非常多的数据结构可以维护了。

单调性怎么用？

1. 贡献是一段段区间的形式，暴力的倍增是首想。

2. 如果将每个位置与比它大的第一个位置相连，是树形结构。这时候询问区间会变为询问树上链和，也可以做。

想了好久也没思路。

首先很容易发现维护静态区间 max 是很容易的（st表），但是仍然不能快速维护前缀max和。

考虑前缀max 的性质。首先前缀max 的值是单调递增的，对于前缀max 序列，可以将其分成若干个内部相等的段。也就是对于每个数 $a_i$，都有一个向右的固定的管辖范围，即到第一个比它大的数（单调栈维护）。

如果考虑优美一点的暴力，我们可以按每一段处理（每一段权值固定)，最优复杂度当然是只有一段区间是，复杂度为 $O(1)$。但是遇到单调递增的区间，就会被卡到 $O(n)$。

瓶颈在于每一次我们都要跳到下一个新的段，段数太多，不能一个一个跳。那我们的思路就有了——倍增。

我们考虑 $f_{i,j}$ 表示从 $i$ 位置跳 $2^j$ 段的答案。设 $nx{t}_{i,j}$ 表示从 $i$ 位置跳 $2^j$ 段后的位置，那么有：

$nx{t}_{i,j}=nx{t}_{nx{t}_{i,j-1},j-1}$

$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{nx{t}_{i,j-1},j-1}$

第二个式子成立的原因是，从 $i$ 一直跳只会有一种跳法，并且每段可以直接相加。

统计答案时从大到小枚举 $j$，能加就加即可。这种倍增做法的复杂度显然是 $O(n\log n+m\log n)$，可能需要一些卡常才能过。

考虑更优的做法，我们发现对于每个 $i$，从 $i$ 一直跳只会有一种跳法，最后一跳相当于跳到 $n+1$。我们发现这样构成了一个树状结构，有 $n$ 条链，根节点是 $n+1$。对于每个询问区间 $[l,r]$，$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{n}$ 的位置为 $p$。那么 $l$ 到 $p$ 就对应树上的一条链，并且 $p$ 为 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{a}$。 于是 $[l,p]$ 的求解就变成了树上链求和。

转化完后，维护每个节点到根节点的前缀和 $su{m}_i$。答案即为 $su{m}_i-su{m}_p+calc(p,r)$。$calc(p,r)$ 即为 $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{n}$ $\times (r-p+1)$。

复杂度为 $O(n\log n+m)$，稳。

总结就是优化跳跃的题目经常会和倍增相关，如果跳跃路径固定，路径会构成树状结构，达到转化。