P9746 「KDOI-06-S」合并序列 （区间dp）

P9746 「KDOI-06-S」合并序列

upd 2024.11.13

经典区间dp+预处理

只要是做了入门区间 dp 的人都应该看出来。

怎么优化呢？发现了转移时枚举了冗杂转移，原因是可达性 dp 的转移只需要找到一个合法转移即可。

怎么找到一个合法转移？

这时候可以试试预处理一些信息加速转移。也可以说是一段一段处理问题。

不难设计状态 \(f_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 能否变为一个数，转移也简单，枚举三个区间，满足 \(f_{i,a}=f_{b,c}=f_{d,r}=1\) 且异或和为 \(0\)。复杂度为 \(O(n^6)\)。

设异或和为 \(s_{l,r}\)。

考虑优化，瓶颈在于转移需要枚举三个区间。假如只枚举一个右区间 \([d,r]\)，那么我们只需要判断 \([l,d-1]\) 中是否存在两个区间能缩成一个数且两区间异或和为 \(s_{d,r}\) 就可以转移。

直接设 \(h_{i,j}\) 表示满足 \(i\le a\le b\le c\) 且 \(s_{i,a}\oplus s_{b,c}=j\) 的最小 \(c\) 值。但发现还是不好预处理出来，不好找到 \([b,c]\) 区间。再设 \(g_{i,j}\) 表示满足 \(i\le a\le b\) 且 \(s_{a,b}=j\) 且 \(f_{a,b}=1\) 的最小 \(c\) 值，\(g\) 容易转移，而 \(h\) 只需要枚举 \(a\) 即可，\(h_{i,s_{i,a}\oplus j}=\min g_{a+1,j}\ (f_{i,a}=1)\)。

\(f\) 转移变为存在 \(l\le d\le r\)，满足 \(h_{i,s_{d,r}}<d\) 。单次复杂度为 \(O(n^2A)\)，注意当前 \(f_{l,r}\) 为 \(1\) 后可以直接 break。

\(h\) 数组和 \(g\) 数组的转移在区间 dp 时更新即可。值得注意的是，在这题中，区间 dp 的顺序只能是左端点 \(l\) 从右向左枚举，右端点 \(r\) 从 \(l\) 向 \(n\) 枚举，因为 \(h\) 数组和 \(g\) 数组的更新需要之前所有长度的 \(f_{l,r}\)，如果只按长度更新会出现错误，如枚举 \(l=a=1\) 时，若按长度枚举，无法转移到 \(g_{a+1,j}\) 长度大于 \(1\) 时的区间。

对于输出方案，除了记录每个区间的前继，还需要记录 \(h\) 和 \(g\) 数组转移时的其中一个合法方案，对于编号的改变，这个体现在 dfs 中。这个输出方案还是比较重要的。

void print(int l, int r, int id) {
	if(l == r || l == 0) return;
	int d = pre[l][r], a = hl[l][sum[r] ^ sum[d - 1]];
	int now = sum[a] ^ sum[l - 1] ^ sum[r] ^ sum[d - 1];
	int b = gl[a + 1][now], c = g[a + 1][now];
	print(d, r, id + (d - l)), print(b, c, id + (b - l)), print(l, a, id);
	ans.push_back({id, id + (b - l) - (a - l), id + (d - l) - (a - l) - (c - b)});
}

对于 \(h\) 和 \(g\) 出现的动机还是挺明确的，一个是优化需要，一个注意到 \(a_i\) 的大小，就知道可以把它放进状态里了。转移需要注意。