P9746 「KDOI-06-S」合并序列 （区间dp）

P9746 「KDOI-06-S」合并序列

upd 2024.11.13

经典区间dp+预处理

只要是做了入门区间 dp 的人都应该看出来。

怎么优化呢？发现了转移时枚举了冗杂转移，原因是可达性 dp 的转移只需要找到一个合法转移即可。

怎么找到一个合法转移？

这时候可以试试预处理一些信息加速转移。也可以说是一段一段处理问题。

不难设计状态 $f_{l,r}$ 表示 $[l,r]$ 能否变为一个数，转移也简单，枚举三个区间，满足 $f_{i,a}=f_{b,c}=f_{d,r}=1$ 且异或和为 $0$。复杂度为 $O(n^6)$。

设异或和为 $s_{l,r}$。

考虑优化，瓶颈在于转移需要枚举三个区间。假如只枚举一个右区间 $[d,r]$，那么我们只需要判断 $[l,d-1]$ 中是否存在两个区间能缩成一个数且两区间异或和为 $s_{d,r}$ 就可以转移。

直接设 $h_{i,j}$ 表示满足 $i\le a\le b\le c$ 且 $s_{i,a}\oplus s_{b,c}=j$ 的最小 $c$ 值。但发现还是不好预处理出来，不好找到 $[b,c]$ 区间。再设 $g_{i,j}$ 表示满足 $i\le a\le b$ 且 $s_{a,b}=j$ 且 $f_{a,b}=1$ 的最小 $c$ 值，$g$ 容易转移，而 $h$ 只需要枚举 $a$ 即可，$h_{i,s_{i,a}\oplus j}=min{g}_{a+1,j}(f_{i,a}=1)$。

$f$ 转移变为存在 $l\le d\le r$，满足 $h_{i,s_{d,r}}<d$ 。单次复杂度为 $O(n^{2}A)$，注意当前 $f_{l,r}$ 为 $1$ 后可以直接 break。

$h$ 数组和 $g$ 数组的转移在区间 dp 时更新即可。值得注意的是，在这题中，区间 dp 的顺序只能是左端点 $l$ 从右向左枚举，右端点 $r$ 从 $l$ 向 $n$ 枚举，因为 $h$ 数组和 $g$ 数组的更新需要之前所有长度的 $f_{l,r}$，如果只按长度更新会出现错误，如枚举 $l=a=1$ 时，若按长度枚举，无法转移到 $g_{a+1,j}$ 长度大于 $1$ 时的区间。

对于输出方案，除了记录每个区间的前继，还需要记录 $h$ 和 $g$ 数组转移时的其中一个合法方案，对于编号的改变，这个体现在 dfs 中。这个输出方案还是比较重要的。

void print(int l, int r, int id) {
	if(l == r || l == 0) return;
	int d = pre[l][r], a = hl[l][sum[r] ^ sum[d - 1]];
	int now = sum[a] ^ sum[l - 1] ^ sum[r] ^ sum[d - 1];
	int b = gl[a + 1][now], c = g[a + 1][now];
	print(d, r, id + (d - l)), print(b, c, id + (b - l)), print(l, a, id);
	ans.push_back({id, id + (b - l) - (a - l), id + (d - l) - (a - l) - (c - b)});
}

对于 $h$ 和 $g$ 出现的动机还是挺明确的，一个是优化需要，一个注意到 $a_i$ 的大小，就知道可以把它放进状态里了。转移需要注意。