基础莫比乌斯反演推导

本篇文章主要记录了一些基础的莫比乌斯反演的推导套路以及过程，如果有错误欢迎指出。

感谢：

command_block $\text{大佬的博客}$

pengym $\text{大佬的博客}$

peterwuyihong $\text{大佬的题单}$

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$\text{这里是常用的反演结论}$

$$\sum _{i\mid n}^{}\mu (i)=[n=1]$$

$$\sum _{i\mid n}^{}\phi (i)=n$$

$$\mu (ij)=\mu (i)\mu (j)[i\perp j]$$

$$\phi (ij)={\displaystyle \frac{\phi (i)\phi (j)(i,j)}{\phi ((i,j))}}$$

（你可能需要整除分块）

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题目1

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[(i,j)=1]$$

$\text{令}$ $n\le m$

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d=1}^n\mu (d)[d\mid i][d\mid j]$$

$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n[d\mid i]\sum _{j=1}^m[d\mid j]$$

$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor {\displaystyle \frac{n}{d}}\rfloor \lfloor {\displaystyle \frac{m}{d}}\rfloor$$

$O(\sqrt{n})$

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