【高联二试】平面几何

这个平面几何不是你学的那个平面几何(笑)

全等与相似

托勒密定理

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在圆内接四边形ABCD 中,|AC| |BD|=|AB| |CD|+|AD| |BC|

几何法证明:取点 EAC ,使得 1=2.

3,4BC 所对的圆周角

3=4

1=2,3=4

ABEDBC

ABBD=AECD,AB·CD=BD·AE 

BCE,BDAAB 所对的圆周角

BCE=BDA

2=1

2+DBE=1+DBE
CBE=DBA

CBE=DBA,BCE=BDA

CBEDBA

CEAD=BCBD,BC·AD=CE·BD 

+AB·CD+AD·BC=(AE+CE)·BD=AC·BD

托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,为托勒密不等式的推广。

证明和托勒密定理差不多,但做辅助线要保证 3=4,因此 E 不一定在 AC 上,AE+CEAC ,所以 AB·CD+AD·BC=(AE+CE)·BDAC·BD,取等条件即为 A,B,C,D 四点共圆。

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