初中方程、函数与不等式
方程
含有未知数的等式叫做方程。
方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解。
一元一次方程
有且只有一个未知数,且未知数的指数为
解一元一次方程:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为
等式的基本性质:
-
等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立。
-
等式两边同时乘或除以同一个不为
的整式,等式仍然成立。
例题:
二元一次方程
有两个未知数,且所有未知数的指数为
单独的二元一次方程例如
在数学中二元一次方程一般以方程组的形式出现。
解二元一次方程有两种方法:代入消元法和加减消元法。
代入消元法即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,然后转化成一元一次方程。
加减消元法即先用适当的整数乘方程两边,使相乘后一个未知数的系数与另一方程中该未知数的系数互为相反数或相等;然后把两个方程相加或相减,以消去某个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。
例题:解方程组
代入消元法
加减消元法
分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式
用
分式的乘除法:
分式的加减法:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,如
异分母的分式相加减,先通分(通常取两个分式的最简公分母作为作为它们的共同分母),化成同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算,如
解分式方程时,我们应先将等式两边同乘一个适当的整式(通常是各分式的最简公分母),约去分母,从而转化成整式方程,然后进行求解。
例题:
解方程
再如
如果在方程变形中产生了不适合原方程的根,那么我们称它为原方程的增根。
为了避免产生增根,解分式方程必须检验,为了简便通常只需要检验所得的根是否使原方程的分母等于零就可以了。如果增根被舍去,则说明无解。
一元二次方程
只含有一个未知数
其中
解一元二次方程:
配方法:
如果一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式,而另一边是一个非负数,那么就可以根据平方根的意义,通过开平方求出这个方程的根。
如
我们发现上面方程的左边是一个完全平方式,所以可以用公式法进行因式分解。但出题人不会这么好心,如果只是一个普通方程该怎么办?
例
这里解一元二次方程的基本思路是将方程转化成
例
在例
公式法:
用配方法解方程
一般的,对于一元二次方程
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
利用这一求根公式解方程,只需把一元二次方程
例题:解方程
根的辨别式:
我们知道方程
-
如果
,这时方程有两个不相等的实数根: 。 -
如果
,则 ,这时方程有两个相等的实数根: 。 -
如果
,而 不可能是负数,这时方程没有实数根。
以上三个结论反过来也是正确的。
我们把
因式分解法:
当一元二次方程的一边为
那么就可得
例题:解方程
可以发现原来的一元二次方程被转化成了两个一元一次方程。
韦达定理
韦达定理用来确定一元二次方程的根与系数的关系。
我们知道对于一元二次方程
因此,两个根的和为:
两个根的积为:
于是得到:如果方程
函数
初中课本的定义:如果在某个变化过程中有两个变量
一次函数
表达式为
一次函数图象的判定:
根据
准确的说,
一次函数的性质
由函数的单调性可知,在一次函数
观察几组图象即可推测出:
一次函数图象的移动规律:
将直线
将直线
以上规律可以简单地记为:上加下减,左加右减。
确定一次函数的表达式
待定系数法,列二元一次方程并求解
反比例函数
表达式为
反比例函数的图象为双曲线,即是由两支曲线组成的,当
反比例函数
当
锐角三角函数
如图为
我们发现在
即:
易得在
即:
即:
锐角
要点警示:
等都是整体符号,不能写成例如 的形式。- 如果一个角只能用三个大写字母表示的话,要写成例如
的形式。
特殊的锐角三角函数值
解直角三角形
由直角三角形已知元素求出其他所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
在
可得以下边角关系:
二次函数
一般式为
顶点式:
零点式:
二次函数图象是一条抛物线,当
顶点坐标为
二次函数的性质
在二次函数中
二次函数在实数范围内有且只有一个极值,当
二次函数图象的移动规律:
把抛物线沿
把抛物线沿
上加下减,左加右减。
确定二次函数表达式:
- 知道抛物线上任意三点坐标,带入一般式列三元一次方程组求解
- 知道抛物线与
轴的交点坐标和任意一点坐标(或二次项系数),代入交点式求解 - 知道二次函数的顶点坐标,代入顶点式
不等式
用符号
使不等式成立的未知数的值叫不等式的解。
不等式的基本性质
- 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;
- 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
- 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
一元一次不等式(组)
一元一次不等式
含有一个未知数且未知数的指数为
如
解一元一次不等式:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为
一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,组成一元一次不等式组。
使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解。
解不等式组:
①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集;②找出解集的公共部分(可利用数轴);③用不等式表示出这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分,则这个不等式组无解 。
一元一次不等式(组)解应用题
- 找不等关系
- 设未知数
- 列不等式
- 解不等式
- 写出答案
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