【转】HDU-2050-折线分割平面

递推思路

首先考虑 n条直线最多分平面问题

n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。

当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。

         故：f(n)=f(n-1)+n

                      =f(n-2)+(n-1)+n

                      ……

                      =f(1)+1+2+……+n

                      =n(n+1)/2+1

 

再来考虑折线分平面问题

根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

       

       故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                      =f(n-1)+4(n-1)+1

                     =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                     ……

                     =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                     =2n^2-n+1

 

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
        long long arr[10001]={1};
        for(int i=1; i<10001; i++)
            arr[i]=arr[i-1]+4*(i-1)+1;
        int C, n;
        cin>>C;
        while(C--)
        {
                cin>>n;
                cout<<arr[n]<<endl;
        }
        return 0;
}