大话数据结构 Chapter 2 算法

2.1 算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.2 算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.2.1 输入输出

算法有0个或多个输入，至少有一个或多个输出。

2.2.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤可在可接受的时间内完成。

2.2.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都具有明确的含义，不会出现二义性。

2.2.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

2.3 算法设计的要求

好的算法具有的特性：

2.3.1 正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
正确性可以分为四个层次：

• 算法程序没有语法错误
• 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
• 算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果
• 算法程序对于精心选择的，甚至***难的测试数据都有满足要求的输出结果。

层次依次提高。

2.3.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流

2.3.3 健壮性

健壮性：当输入不合法时，算法也能作出相关处理，而不是产生异常或莫名奇妙的结果。

2.3.4 时间效率高和存储量低

设计算法应尽量满足时间效率高和存储量低的要求。

2.4 算法效率的度量方法

2.4.1 事后统计方法

事后统计方法：这种防风主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机时对不同算法的编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
存在很大缺陷：

• 必须事先编写好程序
• 依赖计算机硬件和软件等环境因素
• 测试数据设计困难

因此，基于事后统计防风，我们通常不予采纳。

2.4.2 事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
高级程序语言便携的程序运行时消耗时间的影响因素：

• 算法采用的策略、方法
• 编译产生的代码质量：受软件影响
• 问题输入的规模
• 机器执行指令的速度

在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计的语言的算法或一系列步骤。

2.5 算法时间复杂度

2.5.1 算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。f(n)是问题规模n的某个函数。
O( )来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。
最优算法是T(n)增长最慢的算法。

2.5.2 推倒大O阶方法

推到大O阶：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数，得到的结果就是大O阶。

2.5.3 常数阶

执行时间恒定，与问题规模无关的程序是O(1)复杂度。

2.5.4 线性阶

要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

除了常数阶和线性阶，还有对数阶、平方阶、立方阶和指数阶等。

2.6 常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
5log_2n+20	O(logn)	对数阶
2n+nlog_2n+19	O(nlogn)	nlogn阶
6n3+2n2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

注意O(logn)的时间复杂度比O(n)小。

2.7最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，运行时间不能再坏了。除非特别指定的情况，一般提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

2.8 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。