典中典图计数问题

一、无向图定向

问题描述：给定一张 \(n\) 个点，\(m\) 条边的的无向图，求给每条边定向后是 DAG 的方案数，对 \(998244353\) 取模。

数据范围：\(1 \le n \le 20\)。

设 \(f_S\) 表示 \(S\) 点集中的点在 DAG 上时的方案数，枚举出度为 \(0\) 的点集 \(T\)，\(g(S)\) 表示 \(S\) 能否成为出度为 \(0\) 的点集，当且仅当 \(S\) 内没有边时为 \(1\)，否则为 \(0\)。

\[f_S = \sum_{T \subseteq S, T \neq \varnothing} f_{S \oplus T} \cdot (-1) ^ {|T| - 1} \cdot g(T) \]

直接做是 \(\mathcal{O}(3 ^ n)\)，利用子集卷积可以做到 \(\mathcal{O}(2 ^ n \cdot n ^ 2)\)。

Trick：转移方程看似是需要在线的，但是由于是按 \(S\) 从小到大转移，而子集卷积恰好可以按 \(\operatorname{popcount}(S)\) 从小到大卷，所以能够做到 \(\mathcal{O}(2 ^ n \cdot n ^ 2)\)。

二、DAG 计数

问题描述：对 \(n\) 个点带标号的 DAG 进行计数，对 \(998244353\) 取模。

数据范围：\(1 \le n \le 5 \times 10 ^ 3\)。

设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点带标号的 DAG 数量，转移就每次枚举出度为 \(0\) 的点集。

\[f_i = \sum_{j = 1} ^ i f_{i - j} \binom{i}{j} 2 ^ {j(i - j)} (-1) ^ {j - 1} \]

由于每次枚举出度为 \(0\) 的点集 \(T\) 时，将所有 \(T \subseteq S\) 计算了一遍，所以需要容斥，时间复杂度 \(\mathcal{O(n ^ 2)}\)。

Trick：可以将 \(j(i - j)\) 拆成 \(\binom{i}{2} - \binom{j}{2} - \binom{i - j}{2}\)，然后分治 NTT 或者多项式求逆。