广义串并联图

1. 定义

广义串并联图，即不存在同胚于 \(K_4\) 的子图的无向连通图。

树，仙人掌等都是广义串并联图。

2. 性质

广义串并联图的主要思想为将图缩合。

每次删 \(1\) 度点、缩 \(2\) 度点、叠重边。

具体为以下三种操作：

1. 将度数为 \(1\) 的点删除。

2. 对于一个度数为 \(2\) 的点 \(a\)，设其连接了边 \((a, b)\) 和 \((a, c)\)，将 \((b, a)\) 和 \((a, c)\) 缩成 \((b, c)\)。

3. 对于重边，只保留一条。

可以证明，广义串并联图经过缩合后只剩下一个点。

设图 \(G = (V, E)\)，\(|V| = n,|E| = m\)，当 \(m - n \le k\)，\(k\) 较小时，可以考虑广义串并联图。

经过如上缩合操作后，\(m - n\) 单调不增。

最终图中只剩下度数 \(\ge 3\) 的点，所以 \(m \ge \dfrac{3}{2}n\)，\(k \ge m - n \ge \dfrac{1}{2}n\)。

得到 \(n \le 2k\)，\(m \le 3k\)，就将图缩合到了一个极小的范围内。

3. 例题

3.1 P6790 [SNOI2020] 生成树

\(G\) 在删完一条边后是仙人掌，可以大胆猜测 \(G\) 是广义串并联图。

考虑将 \(G\) 缩合，对于每条边 dp。

对于一条边 \(e\)，设 \(f_e\) 表示这条边在生成树上的方案数，\(g_e\) 表示这条边不在生成树上的方案数。

• 删 \(1\) 度点

  • 直接将 \(f_e\) 乘进总方案数。

• 缩 \(2\) 度点

  • 设两条边分别为 \(x, y\)，新边为 \(e\)，由于生成树上 \(x\) 和 \(y\) 至少有一条边存在，新边在生成树上当且仅当 \(x\) 和 \(y\) 都在生成树上。

  • \[\begin{cases} f_e = f_x \cdot f_y \\ g_e = f_x \cdot g_y + f_y \cdot g_x \end{cases} \]

• 叠重边

  • 设两条重边分别为 \(x, y\)，新边为 \(e\)，由于生成树上 \(x\) 和 \(y\) 不能同时存在，新边不在生成树上当且仅当 \(x\) 和 \(y\) 都不在生成树上。

  • \[\begin{cases} f_e = f_x \cdot g_y + f_y \cdot g_x \\ g_e = g_x \cdot g_y \end{cases} \]

叠重边时可以利用 map，拓扑排序确定缩点的顺序，时间复杂度 \(\Theta(m \log m)\)，使用哈希表可以做到 \(\Theta(m)\)。