拉格朗日插值法 3 个问题速记

\(\text{Q1}\) : 拉格朗日差值法的作用 ?

我们要求 \(\text F(p)\) , 其中 \(\text F(x)=\sum\limits^{n-1}_{i=0} a_ix^i\)。
现在我们有 \(\text X=\{(x_0,\text F(x_0)),(x_1,\text F(x_1) \dots (x_{n-1},\text F(x_{n-1}))\}\)。
对于普通的解方程 , 高斯消元可以做到 \(O(n^3)\)。
拉格朗日插值法可以做到 \(O(n^2)\) , 并且加入新的点只需要 \(O(n)\)。

\(\text{Q2}\) : 拉格朗日插值法的核心思想 ?

对于 \(\text X=\{(x_0,\text F(x_0)),(x_1,\text F(x_1) \dots (x_{n-1},\text F(x_{n-1}))\}\)。
我们任意选一个 \((x_i,\text F(x_i))\) , 然后把其它的点都看作是 \(\text (x_j,0)\) , \(j \not =i\) ,
那么可以得到一个新的解析式 \(\text F_i(x)=\sum\limits^{n-1}_{k=0} a_kx^k\)。
然鹅关于点集 \(\text X\) 的解析式及为 \(\text F=\sum\limits^{n-1}_{i=0} \text F_i\)。
图在 \(\text{OI WIKI}\) 上有 , 这里就不附了。

\(\text{Q3}\) : 拉格朗日插值法公式 ?

\[\text F(p)=\sum\limits^{n-1}_{i=0} \text F(x_i)\prod^{n-1}_{j=0 , j\not =i} \frac {p-x_i}{x_i-x_j} \]

对于 \(p=x_i\) 的情况 , \(\prod\limits^{n-1}_{j=0 , j\not =i} \frac {p-x_i}{x_i-x_j}=0\)。
对于 \(p=x_j\) 的情况 , \(\prod\limits^{n-1}_{j=0 , j\not =i} \frac {p-x_i}{x_i-x_j}=1\)。

但是有一个东西叫做龙格现象 ,
大概意思就是 \(n\) 越大 , 误差越大。
所以说有重心权这种东西。
定义 :

\[\begin{aligned} \omega_i = & \text F(x_i)(\prod^{n-1}_{j=0 , j\not = i} (x_i-x_j))^{-1} \\ \ell (p)= & \prod^{n-1}_{k=1} (p-x_i) \\ \end{aligned}\]

那么显然可得 :

\[\text F(p)=\ell(p)\sum\limits^n_{i=1}\frac{\omega_i}{p-x_i} \]

需要插入新的点的时候就直接改变 \(\omega\) 即可。