浅谈动态树 Euler Tour Tree

一般提到动态树 , 我们会不约而同的想到 \(\texttt{LCT}\) , 这算是比较通用 , 实用 , 能力较为广泛的一种写法了。当然 , 掌握 \(\texttt{LCT}\) 就需要熟悉掌握 \(\texttt{Splay}\) 和各种操作和知识。\(\texttt{ETT}\) (中文常用称呼 : 欧拉游览树) 是一种及其睿智且暴力 , 可以用智障数据结构维护的一种除了能胜任普通动态树的 \(\texttt{Link \& Cut}\) 操作还可以支持换子树操作 (此操作 \(\texttt{LCT}\) 无法完成) 的动态树。

大家对这括号序很熟悉吧 , 如 :

其括号序为 : 1 2 5 5 6 6 2 3 3 4 7 8 8 7 4 1 。

括号序其实是一个父亲包含儿子的一种树的顺序。

然后我们看一下 , 如果把 4 的子树移给 3 会怎样 ? 如图 :

原图括号序 : 1 2 5 5 6 6 2 3 3 4 7 8 8 7 4 1

后者括号序 : 1 2 5 5 6 6 2 3 7 8 8 7 3 4 4 1

你会发现 , 7 7 8 8 平移到了 3 的后面 ,而 4 合拢。这就是所谓换子树操作 (同样可以用于 \(\texttt{Link \& Cut}\) 操作)。现在只需要一个数据结构可以做到区间平移且维护一些值 , 众大佬肯定会说用 \(\texttt{Splay}\) , 其确实效率很高 , 不过这里用块状链表维护会简单很多 , 对于一些数据低于 \(2 \times 10^5\) 的题目都可以码得很快。

那怎么维护点到根的信息呢 ?

其实仔细想想 , \(\texttt{DFS}\) 序也可以达到平移的效果 , 那么为什么需要括号序 ? 其实 , 假如你要查询图中 1到 8 的和 , 那么你从括号序中 1 到 8 (第一个出现的) 中出现两次的数的贡献抹去。如果维护的是 \(\text{xor}\) , 那么直接 \(\text{xor}\) 两次即可。如果维护的是 \(\text{sum}\) , 那么第一个出现的数字的贡献为正 , 第二个为负 , 然后用块状链表维护区间和即可。

确实很水的一种做法.... 用块状链表后除了单点修改是 \(O(1)\) 外其他都是 \(O(n^{\frac{1}{2}})\) 的。

对于换根操作 , 我实在想不来怎么搞 , 应该是弄不了。对于链 (区间) 修改 , 分为两种情况 , 一是贡献相同 (如 \(\text{xor}\)) 是可以的 , 二是贡献不同 (如 \(\text{sum}\)) 是不行的。现在的主流做法毕竟是 \(\texttt{LCT}\) , 所以这些操作比较多 , 在避开这种操作的情况下运用这种做法还是不错的。

已经发表至 \(\text{OI Wiki}\)。