CF392C Yet Another Number Sequence 题解

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题意:

斐波那契数列 $F_1=1$,$F_2=2$,$F_i=F_{i-1}+F_{i-2}(i>2)$。对于数列 $A$,$A_i(k)=F_i\times i^k(i>1)$.求 $A_1(k)+A_2(k)+...A_n(k)$,答案对 ${10}^9+7$ 取模。

解题思路

发现 $n<={10}^{17}$，考虑使用矩阵加速。因为矩阵中向量只能求和不能相乘，所以我们只能把 $F_i\times i^k$ 看成一个整体。接着考虑转移，首先 $F_i=F_{i-1}+F_{i-2}$,然后对于 $i^k=(i-1+1{)}^k$。对其进行二项式展开得 $(i-1+1{)}^k=\sum _{r=0}^k{C}_k^r\times (i-1{)}^k$.所以把 $\sum$ 拆开得到矩阵：

$$\left[\begin{array}{c}(i-1{)}^0\times F_{i-2}\\ (i-1{)}^1\times F_{i-2}\\ ⋮\\ (i-1{)}^k\times F_{i-2}\\ (i-1{)}^0\times F_{i-1}\\ (i-1{)}^1\times F_{i-1}\\ ⋮\\ (i-1{)}^k\times F_{i-1}\end{array}\right]\times C=\left[\begin{array}{c}{i}^0\times F_{i-1}\\ i^1\times F_{i-1}\\ ⋮\\ i^k\times F_{i-1}\\ i^0\times F_i\\ i^1\times F_i\\ ⋮\\ i^k\times F_i\end{array}\right]$$

接着思考如何构建操作矩阵 $C$。显然 $i^0\times F_{i-1}=(i-1{)}^0\times F_{i-1}$,$i^1\times F_{i-1}=(i-1{)}^0\times F_{i-1}+(i-1{)}^1\times F_{i-1}$,$i^2\times F_{i-1}=(i-1{)}^0\times F_{i-1}+2\times (i-1{)}^1\times F_{i-1}+(i-1{)}^2\times F_{i-1}$.其实就是一个杨辉三角。 $i^0\times F_i=(i-1{)}^0\times (F_{i-2}+F_{i-1})$,所以就是两个杨辉三角，这样就得到了操作矩阵 $C$。

$$\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 2& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 1& 0& \cdots & 0& 1& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 1& 2& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}\right]$$

AC代码

(码风不好不喜勿喷)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
struct Matrix{//矩阵结构体 
	vector<vector<int> > mp;
	Matrix(int n,int val=0):mp(n,vector<int>(n,0)){
		for(int i=0;i<n;i++) mp[i][i]=val;
	}
	Matrix(const vector<vector<int> >& _m):mp(move(_m)){}
	Matrix operator*(const Matrix& _m)const{
		int n=mp[0].size();
		Matrix res(n);
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				for(int k=0;k<n;k++)
					res.mp[i][j]=(res.mp[i][j]+mp[i][k]*_m.mp[k][j])%mod;
		return res;
	}
	Matrix operator^(int l){
		Matrix res(mp.size(),1),tmp=*this;
		while(l){
			if(l&1) res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			l>>=1;
		}
		return res;
	}
};
int n,k,ans;
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	if(n==1){
		printf("1");
		return 0;
	}
	if(n==2){
		printf("%lld",1+2*(1<<k));
		return 0;
	}//特判小于等于二的情况 
	Matrix C((k<<1)+3);
	C.mp[0][k+1]=1;
	for(int i=1;i<k+1;i++){
		for(int j=k+1;j<(k<<1)+2;j++){
			if(j==k+1) C.mp[i][j]=1;
			else C.mp[i][j]=(C.mp[i-1][j-1]+C.mp[i-1][j])%mod;
		}
	}
	C.mp[k+1][0]=C.mp[k+1][k+1]=1;
	for(int i=k+2;i<(k<<1)+2;i++){
		for(int j=0;j<k+1;j++){
			if(j==0) C.mp[i][j]=C.mp[i][j+k+1]=1;
			else C.mp[i][j]=C.mp[i][j+k+1]=(C.mp[i-1][j-1]+C.mp[i-1][j])%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<(k<<1)+2;i++) C.mp[(k<<1)+2][i]=C.mp[(k<<1)+1][i];
	C.mp[(k<<1)+2][(k<<1)+2]=1;//创建操作矩阵C 
	C=C^(n-1);//矩阵快速幂 
	for(int i=0;i<(k<<1)+3;i++) ans=(ans+C.mp[(k<<1)+2][i])%mod;//统计答案 
	printf("%lld",ans%mod);
	return 0;
}