杜教筛

去年暑假学的，但是当时显然学的似懂非懂的。

希望求一个函数 $f$ 的前缀和，考虑构造另一个函数 $g$ 和它进行狄利克雷卷积的前缀和。

$$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)=\sum _{t=1}^{n}g(t)S(n^{\prime })$$

考虑差分一下可以得到：

$$S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{t=2}^{n}g(t)S(n^{\prime })$$

然后后者是可以数论分块解决的。以 $\mu$ 为例，让 $f$ 是 $\mu$，$g$ 是 $I$，有结论是说 $f\ast g=\epsilon$。然后就可以快速计算了。$\phi$ 也是一样的，考虑 $\phi \ast I=id$，所以也是可以做的。然后做一下记忆化（然而好写这东西没什么用），筛出前 ${10}^6$ 的前缀和可以加快计算速度。板子如下，不同的只是前面两个函数的计算方法不同。

unordered_map<int,int>fan;
inline int fg(int wh){return ;}
inline int sg(int l,int r){return ;}
int solve(int wh){
	if(wh<N)return sf[wh];
	if(fan[wh])return fan[wh];
	int an=fg(wh);
	for(int l=2,r=0;l<=wh;l=r+1){
		r=wh/(wh/l);
		an-=sg(l,r)*solve(wh/l);
	}
	return fan[wh]=an;
}

然后就可以解决 模板题 了。然后在另外一道题中我们需要计算的是 $\sum \phi (i)i^2$。

让 $f=\phi (i)i{d}^2,g=i{d}^2$，思考他们狄利克雷卷积的结果。

$$\sum _{k|n}\phi (k)k^2(\frac{n}{k}{)}^2=\sum _{k|n}\phi (k)n^2=n^3$$

所以就可以构造 $f\ast g=i{d}^3$，然后杜教筛解决啦。