杜教筛

去年暑假学的，但是当时显然学的似懂非懂的。

希望求一个函数 \(f\) 的前缀和，考虑构造另一个函数 \(g\) 和它进行狄利克雷卷积的前缀和。

\[\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum\limits_{t=1}^ng(t)S(n') \]

考虑差分一下可以得到：

\[S(n)=\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum\limits_{t=2}^ng(t)S(n') \]

然后后者是可以数论分块解决的。以 \(\mu\) 为例，让 \(f\) 是 \(\mu\)，\(g\) 是 \(I\)，有结论是说 \(f*g=\varepsilon\)。然后就可以快速计算了。\(\varphi\) 也是一样的，考虑 \(\varphi*I=id\)，所以也是可以做的。然后做一下记忆化（然而好写这东西没什么用），筛出前 \(10^6\) 的前缀和可以加快计算速度。板子如下，不同的只是前面两个函数的计算方法不同。

unordered_map<int,int>fan;
inline int fg(int wh){return ;}
inline int sg(int l,int r){return ;}
int solve(int wh){
	if(wh<N)return sf[wh];
	if(fan[wh])return fan[wh];
	int an=fg(wh);
	for(int l=2,r=0;l<=wh;l=r+1){
		r=wh/(wh/l);
		an-=sg(l,r)*solve(wh/l);
	}
	return fan[wh]=an;
}

然后就可以解决 模板题 了。然后在另外一道题中我们需要计算的是 \(\sum\varphi(i)i^2\)。

让 \(f=\varphi(i)id^2,g=id^2\)，思考他们狄利克雷卷积的结果。

\[\sum\limits_{k|n}\varphi(k)k^2(\frac{n}{k})^2=\sum\limits_{k|n}\varphi(k)n^2=n^3 \]

所以就可以构造 \(f*g=id^3\)，然后杜教筛解决啦。