prufer 序列

有标号无根树和 prufer 序列形成双射的关系。所以有一些性质。

其构造方式是拿一棵树出来,它有许多叶子。找出这些叶子中编号最小id,记录下它的父亲,丢掉。重复这一过程,会得到一个长度为 \(m-2\) 的序列,即 prufer 序列。用堆可以做到单 log,当然也有线性做法(如果它丧心病狂想卡的话),懒得记。

但是这玩意更多是用在无根树的计数方面。它具有很好的性质:每个元素都是可以取到 \([1,m]\) 中的任意数,独立的,即无根树的数量是 \(m^{m-2}\)。还有一个性质是一个点在树中的度等于序列中出现次数加一。主要是这两个性质,有几个比较基础的应用:

P4430 无脑板子。树的形态有 \(m^{m-2}\) 种,边的顺序有 \((m-1)!\) 种,乘起来即可。

P2290 板子。根据性质可以确定每个点在 prufer 序列中的出现次数,简单组合即可。然后有一些需要注意的边角情况但不重要。

P4981 板子,直接输出 \(m^{m-2}\) 即可。

CF156D link

提一嘴线段树优化建边,就不单独开一个随笔了。

除了板子似乎没有其它什么题了,其实更多的是一种思想。板子题link,线段树优化建图是拆边的一种方法,当一个点需要向一个区间内所有节点连边时,我们需要做的就是先把这些节点按照建线段树的方式来分组,然后对于一个区间找到对应的 \(\log n\) 级别的组对应的节点,向这些节点连边即可。细节有一些,比如要建两棵线段树,分别对应区间连入和区间连出;对应的叶子节点要建双向边等。

posted @ 2022-12-01 11:04  Feynn  阅读(38)  评论(0编辑  收藏  举报