牛顿迭代法求解平方根
假设现在输入一个整数,希望通过某种方式来求得该整数的平方根,要求得到尽可能大的精度。
和 LeetCode 上的原题 LeetCode 69 不同,这里要求得到尽可能大的精度,因此一般的二分法无法处理这个问题
处理思路
考虑定义一个函数 \(f(x) = x ^ 2 - a\),那么当 \(f(x)\) 为 \(0\) 时,所对应的正 \(x\) 坐标就是 \(a\) 的平方根。现在,在 \(f(x)\) 上的任意一点,做出 \(f(x)\) 处对应的切线,此时的横坐标为 \(x_i\),这条切线和 \(X\) 轴的交点的横坐标为 \(x_{i + 1}\),具体如下图所示:
由于在 \(f(x)\) 处的切线的斜率为当前位置的 \(f(x)\) 的倒数,因此有如下的关系:
\[f(x_i) / (x_i - x_{i + 1}) = f'(x_i)
\]
将该关系进行转换,可以得到 \(x_{i + 1}\) 和 \(x_i\) 之间的对应关系:
\[x_{i + 1} = x_i - f(x_i) / f'(x_i)
\]
由于 \(f(x) = x^2 - a\),由求导公式可得 \(f'(x) = 2x\),将其带入上述的公式可得:
\[\begin{aligned}
x_{i + 1} &= x_i - (x_i^2 - a) / 2x_i \\
&=x_i - x_i / 2 + a / 2x_i\\
&=(x_i + a/x_i) / 2
\end{aligned}
\]
当 \(x_i\) 非常接近 \(\sqrt a\) 时,则有如下的对应关系:
\[x_{i + 1} = (\sqrt a + \sqrt a) / 2 = \sqrt a
\]
即经过不断地迭代,最终结果收敛于 \(\sqrt a\)
编码实现
public static double sqrt(int n) {
int ub = 20; // 20 次左右的迭代可以解决 32 位有符号整数的平方根
double y = 0.5 * n; // 初始值默认为 0.5 倍的 n,如果能够取得更好的初始值,算法性能会有进一步的提升
double rootx = Math.sqrt(n); // 实际平方根,用于比较
for (int i = 0; i < ub; ++i) {
System.out.printf("%05d: %25.16f %25.16f\n", i, y, Math.abs(y - rootx) / rootx);
double newy = 0.5*(y + (double) n / y); // 迭代
if (newy == y) {
System.out.println("Converged");
break;
}
y = newy;
}
return y;
}
时间复杂度:可以看到,如果有一个合适的初始值,牛顿迭代法可以是一个常数时间内的操作,即 \(O(1)\)
空间复杂度:只需要少量的几个中间变量,因此空间复杂度为 \(O(1)\)
参考:
[1] 《编程珠矶(续)》Jon Bentley 第 14 章 编写数值计算程序