动态规划问题(三)最长递增子序列长度(LIS)

问题描述

​ 有一个数组,它内部的顺序是乱序的,现在要求你找出该数组中的最长的递增子序列长度。

​ 例如:对于数组 {10, 20, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80},它的最长递增子序列为{10, 22, 33, 50, 60, 80},长度为 4

解决思路

  • DP 方案:

    \(L(i)\) 表示在 \(i\)​ 位置最长的递增子序列长度.

    • 0 < j < i 并且 arr[j] < arr[i] 时,\(L(i)=1 + max(L(j))\) \((j \in [0, i])\)

    • i == 0 时, \(L(i) = 1\)

    • 因此,状态转移方程为

      \[L(i)=\begin{cases} 1 + max(L(j)) & j \in [0, i] \\ 1 & i = 0 \\ \end{cases} \]

  • 贪心策略和二分搜索:

    • 定义一个数组,这个数组的元素是单调递增的。
    • 贪心策略:每次遇到一个元素将它插入到预先定义的数组中,使得整个数组的增长是最 “缓慢”的。
    • 由于插入后数组的元素元素是有序的,因此下次插入时可以使用二分查找进行替换。

实现

  • DP 方案的实现

    public class Solution {
        public static int lis(int[] array) {
            int len = array.length;
            if (1 == len) return 1; // 边界条件
    
            int ans = 1; // 对任意的数组序列,最少的递增子序列长度至少为 1
            int[] dp = new int[len];
            dp[0] = 1; 
            for (int i = 1; i < len; ++i) {
                dp[i] = 1;
                // 从小于 i 的数组索引中找到最大的递增序列长度
                for (int j = 0; j < i; ++j) {
                    if (array[i] > array[j])
                        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
    
                // 与当前的最大递增序列长度进行比较,得到最终的最长递增子序列长度
                ans = Math.max(dp[i], ans);
            }
    
            return ans;
        }
    }
    
  • 贪心策略 + 二分搜索的实现

    class Solution {
        public int lis(int[] array) {
            int len = array.length;
            if (1 == len) return 1; // 边界条件检测
    
            int ans = 1;
            int[] dp = new int[len];
            dp[0] = array[0]; // 存储有序插入结果
            for (int i = 1; i < len; ++i) {
                // 如果当前元素大于定义数组的最大元素,则直接添加它到末尾
                if (array[i] > dp[ans - 1]) {
                    dp[ans++] = array[i];
                } else {
                    // 查找当前元素的插入位置
                    int lo = 0, hi = ans - 1, pos = 0;
                    while (lo <= hi) {
                        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
                        if (dp[mid] == array[i]) {
                            pos = mid;
                            break;
                        } else if (dp[mid] > array[i]) {
                            hi = mid - 1;
                        } else {
                            lo = mid + 1;
                            pos = lo;
                        }
                    }
    
                    dp[pos] = array[i];
                }
            }
    
            return ans;
        }
    }
    
posted @ 2021-08-12 20:51  FatalFlower  阅读(94)  评论(0编辑  收藏  举报