[AGC056B] Range Argmax 题解

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题目解法

这咋想到的？？？

计数不同的下标序列看上去就很不可做，考虑转化成计数排列
这显然会算重，考虑钦定一种方式，使得一个下标序列仅对应一个序列
我们这样构造：
从大到小加数，找到第一个 $pos$ 满足当前未被删除的且包含 $pos$ 的区间的 $x$ 值均为 $pos$，然后令 $p_{pos}=v$，且删去包含 $pos$ 的所有区间

考虑对这个东西计数
我们用区间 $dp$ 的方法，因为删去一个位置之后，显然所有区间会分成不交的 $2$ 部分
如果 $[l,r]$ 区间的最大值在 $p$ 这个位置，考虑分成 $[l,p-1]$ 和 $[p+1,r]$ 两个子问题做
$[p+1,r]$ 中的所有值一定小于 $[l,p-1]$ 中的所有值（这其实是让我们不要乘组合数），其他没有任何限制
主要是 $[l,p-1]$ 有限制，即要保证第一个合法的 $pos$ 在 $p$，令 $[l,p-1]$ 的最大数的位置为 $q$，那么合法条件为 $p,q$ 有在 $[l,r]$ 中的区间覆盖

令 $f_{l,r,p}$ 表示区间 $[l,r]$，最大值的位置 $\ge p$ 的方案数
令 $lim_{l,r,p}$ 为区间在 $[l,r]$ 中的，且包含位置 $p$ 的最左的左端点
转移为：$f_{l,k-1,lim_{l,r,k}}\times f_{k+1,r,k+1}+f_{l,r,k+1}\Rightarrow f_{l,r,k}$

时间复杂度 $O(n^3)$

#include <bits/stdc++.h>
#define F(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DF(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SZ(x) (int)x.size()-1
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T> void chkmax(T &x,T y){ x=max(x,y);}
template<typename T> void chkmin(T &x,T y){ x=min(x,y);}
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
const int N=310,P=998244353;
int n,m,lim[N][N][N],f[N][N][N];
inline void inc(int &x,int y){ x+=y;if(x>=P) x-=P;}
int main(){
    n=read(),m=read();
    F(i,1,n) F(j,1,n) F(k,1,n) lim[i][j][k]=n+1;
    F(i,1,m){
        int l=read(),r=read();
        F(j,l,r) lim[l][r][j]=l;
    }
    F(len,2,n) F(l,1,n-len+1){
        int r=l+len-1;
        F(k,l,r) chkmin(lim[l][r][k],min(lim[l+1][r][k],lim[l][r-1][k]));
    }
    F(i,1,n+1) F(j,1,n+1) f[i][i-1][j]=1;
    F(len,1,n) F(l,1,n-len+1){
        int r=l+len-1;
        DF(k,r,l) f[l][r][k]=1ll*f[l][k-1][lim[l][r][k]]*f[k+1][r][k+1]%P,inc(f[l][r][k],f[l][r][k+1]);
    }
    printf("%d\n",f[1][n][1]);
    return 0;
}