CF1392H ZS Shuffles Cards 题解

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题目解法

很牛逼的概率题，参考了题解区

定义取到鬼牌，重新洗牌，为一轮
则 $ans=E($轮数$)\times E($这一轮取到鬼牌的期望步数$)$，轮数为在 $S=\{1,...,n\}$ 之前取到鬼牌的次数

先计算 $E($这一轮取到鬼牌的期望步数$)$，这是比较好算的
考虑期望的线性性，即换角度考虑问题，我们假设会取完所有的牌，但第一次出现的鬼牌之后的牌不算步数，所以对于每个数字牌，前面没有鬼牌的概率显然为 $\frac{1}{m+1}$，所以取到鬼牌的期望次数为 $\frac{n}{m+1}+1$

再计算 $E($轮数$)$，这个也不太难算
取到在集合 $S$ 中的数字牌对于答案是没有影响的，所以直接忽略
考虑当前剩余 $i$ 张数字牌不在集合内，变到 $i-1$ 张牌的期望轮数
在 $m$ 张鬼牌，$i$ 张数字牌中抽到数字牌的期望次数为 $\frac{i+m}{m}$，因为抽到数字牌不算轮数，所以期望轮数为 $\frac{i}{m}$
所以 $E($轮数$)$ 即为 $\sum\limits_{i=1}^n\frac{m}{i}+1$

总结一下，答案为 $(\sum\limits_{i=1}^n\frac{m}{i}+1)\times (\frac{n}{m+1}+1)$
时间复杂度 $O(n)$

个人感觉，这道题的难点在于想到定义轮数，即转化为 $2$ 个期望次数，剩下的就比较套路

#include <bits/stdc++.h>
#define F(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DF(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SZ(x) (int)x.size()-1
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T> void chkmax(T &x,T y){ x=max(x,y);}
template<typename T> void chkmin(T &x,T y){ x=min(x,y);}
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
const int P=998244353,N=2000100;
int n,m,inv[N];
int qmi(int a,int b){
    int res=1;
    for(;b;b>>=1){ if(b&1) res=1ll*res*a%P;a=1ll*a*a%P;}
    return res;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    inv[1]=1;
    F(i,2,n) inv[i]=1ll*inv[P%i]*(P-P/i)%P;
    int res=0;
    F(i,1,n) res=(res+1ll*m*inv[i])%P;
    int ans=(1ll*n*qmi(m+1,P-2)+1)%P*(res+1)%P;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}