CF1442D Sum 题解

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题目解法

$n^3$ 的 $dp$ 是显然的
但我们没用到 $a$ 不降的性质

考虑一个很妙的结论：最优选法中，至多只有一个序列取了且未取满
为什么？
如果最优情况下，存在选且未选满的序列为 $a,b$，第一个未选的元素为 $x,y$
如果 $a_x>a_{pre_y}$，那么选 $x$ 比选 $pre_y$ 更优，反之同理

然后就相当于要做除了 $i$ 的背包，直接用类似线段树分治的方法做就可以了

时间复杂度 $O(nk\log n)$

#include <bits/stdc++.h>
#define F(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DF(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SZ(x) (int)x.size()-1
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T> void chkmax(T &x,T y){ x=max(x,y);}
template<typename T> void chkmin(T &x,T y){ x=min(x,y);}
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
const int N=3100;
vector<int> vec[N];
int n,k,len[N];LL sum[N];
LL ans,knap[15][N];
void solve(int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        chkmax(ans,knap[dep][k]);
        LL res=0;
        F(i,0,len[l]-1) if(k>=i+1) res+=vec[l][i],chkmax(ans,knap[dep][k-i-1]+res);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    F(i,0,k) knap[dep+1][i]=knap[dep][i];
    F(i,l,mid) DF(j,k,len[i]) chkmax(knap[dep+1][j],knap[dep+1][j-len[i]]+sum[i]);
    solve(mid+1,r,dep+1);
    F(i,0,k) knap[dep+1][i]=knap[dep][i];
    F(i,mid+1,r) DF(j,k,len[i]) chkmax(knap[dep+1][j],knap[dep+1][j-len[i]]+sum[i]);
    solve(l,mid,dep+1);
}
int main(){
    n=read(),k=read();
    F(i,1,n){
        len[i]=read();
        F(j,1,len[i]){
            int v=read();
            vec[i].pb(v),sum[i]+=v;
        }
    }
    solve(1,n,0);
    printf("%lld\n",ans);
    fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
    return 0;
}