CF1648D Serious Business 题解

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题目解法

先考虑朴素的 $dp$
不难发现有两个断点 $x,y$ 是重要的，即 $[1,x]$ 在第 $1$ 行，$[x,y]$ 在第 $2$ 行，$[y,n]$ 在第 $3$ 行
不妨枚举断点 $y$，然后统计最优的 $x$
令 $f_i$ 表示断点在 $i$ 的最大收益（只计算第 $1$ 行和第 $2$ 行）
答案即为 $\max f_i+sumsuf_{3,i}$
考虑转移，枚举 $i$ 被覆盖的区间，假设为 $[l,r,k](l\le i\le r)$：

1. 只用当前区间覆盖
   $f_i=\max\limits_{j=l}^isumpre_{1,j}-sumpre_{1,j-1}+sumpre_{1,i}-k$
2. 同时用其他区间覆盖
   不难发现，最优的情况一定是 $f_i=f_{l-1}+sumpre_{1,i}-k$

发现 $sumpre_{1,i}$ 是定值，可以移出转移

考虑线段树优化
情况 $2$ 是好优化的，直接在 $i=l$ 时枚举区间，然后线段树上区间求 $\max$ 即可
情况 $1$ 比较复杂，我们考虑在 $r$ 处记录结果（因为要满足 $i\le r$ 的限制），然后从前往后更新后缀即可，有些难懂
需要记录的东西有区间 $\max$，区间 $\min k$，和下传的 $tag$

时间复杂度 $O(n\log n)$

#include <bits/stdc++.h>
#define F(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DF(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define SZ(x) (int)x.size()-1
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T> void chkmax(T &x,T y){ x=max(x,y);}
template<typename T> void chkmin(T &x,T y){ x=min(x,y);}
inline int read(){
    int FF=0,RR=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
    return FF*RR;
}
typedef long long LL;
const int N=500100;
const LL inf=1e15;
int n,m,a[3][N];
LL f[N],s[3][N];
vector<pii> cost[N];
struct Sgt1{
    LL seg[N<<2];
    void clear(){ F(i,1,n<<2) seg[i]=-inf;}
    void modify(int l,int r,int x,int L,int R,LL val){
        if(L<=l&&r<=R){ chkmax(seg[x],val);return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=L) modify(l,mid,x<<1,L,R,val);
        if(mid<R) modify(mid+1,r,x<<1^1,L,R,val);
    }
    LL query(int l,int r,int x,int pos){
        if(l==r) return seg[x];
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=pos) return max(query(l,mid,x<<1,pos),seg[x]);
        else return max(query(mid+1,r,x<<1^1,pos),seg[x]);
    }
}sg1;
struct Sgt2{
    LL seg[N<<2],rec[N<<2],mink[N<<2];
    void clear(){ F(i,1,n<<2) seg[i]=-inf,rec[i]=-inf,mink[i]=inf;}
    void pushdown(int x){
        if(rec[x]!=-inf){
            chkmax(seg[x<<1],rec[x]-mink[x<<1]),chkmax(seg[x<<1^1],rec[x]-mink[x<<1^1]);
            chkmax(rec[x<<1],rec[x]),chkmax(rec[x<<1^1],rec[x]);
            rec[x]=-inf;
        }
    }
    void modify(int l,int r,int x,int pos,LL v,LL k){
        if(l==r){ chkmax(seg[x],v),chkmin(mink[x],k);return;}
        pushdown(x);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(mid>=pos) modify(l,mid,x<<1,pos,v,k);
        else modify(mid+1,r,x<<1^1,pos,v,k);
        seg[x]=max(seg[x<<1],seg[x<<1^1]);
        mink[x]=min(mink[x<<1],mink[x<<1^1]);
    }
    void update(int l,int r,int x,int lb,LL val){
        if(r<lb) return;
        if(l>=lb){ chkmax(seg[x],val-mink[x]),chkmax(rec[x],val);return;}
        pushdown(x);
        int mid=(l+r)>>1;
        update(l,mid,x<<1,lb,val),update(mid+1,r,x<<1^1,lb,val);
        seg[x]=max(seg[x<<1],seg[x<<1^1]);
    }
    LL query(int l,int r,int x,int lb){
        if(r<lb) return -inf;
        if(l>=lb) return seg[x];
        pushdown(x);
        int mid=(l+r)>>1;
        return max(query(l,mid,x<<1,lb),query(mid+1,r,x<<1^1,lb));
    }
}sg2;
int main(){
    n=read(),m=read();
    F(i,0,2) F(j,1,n) a[i][j]=read();
    F(i,1,m){
        int l=read(),r=read(),k=read();
        cost[l].pb({r,k});
    }
    F(i,0,2) F(j,1,n) s[i][j]=s[i][j-1]+a[i][j];
    F(i,0,n) f[i]=-inf;
    sg1.clear(),sg2.clear();
    F(i,1,n){
        for(auto [r,k]:cost[i]) sg2.modify(1,n,1,r,s[0][i]-s[1][i-1]-k,k),sg1.modify(1,n,1,i,r,f[i-1]-k);
        sg2.update(1,n,1,i,s[0][i]-s[1][i-1]);
        f[i]=max(sg1.query(1,n,1,i),sg2.query(1,n,1,i));
    }
    LL ans=-inf;
    F(i,1,n) chkmax(ans,s[2][n]-s[2][i-1]+f[i]+s[1][i]);
    printf("%lld\n",ans);
    fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
    return 0;
}