题解 CF1009F 【Dominant Indices】
\(\quad\)题目链接：CF1009F Dominant Indices(洛谷的链接)
\(\quad\)没有修改操作，询问子树，这就是一道 Dsu 板子题，这个算法又叫树上启发式合并(下面会细讲)。
\(\quad\)关于此题，用 \(cnt_i\) 数组来表示深度为 \(i\) 的结点数量，另外要注意要在修改的时候顺便记录 \(cnt\) 最大的深度，不然会T飞(亲身经历)。
\(\quad\)下面就简单讲讲树上启发式合并 (Dsu on Tree)算法，如果有不懂的可以提出来。
\(\quad\)学这个之前需要对树上操作、 \(dfs\) 序和轻重链剖分等知识有一定了解，最好已经掌握了树链剖分。
\(\quad\)树上启发式合并 (Dsu on Tree)，是一个在 \(O(n\log n)\) 时间内解决许多树上问题的有力算法，对于某些树上离线问题可以速度大于等于大部分算法且更易于理解和实现。
\(\quad\)先想一下暴力算法，对于每一次询问都遍历整棵子树，然后统计答案，最后再清空 \(cnt\) 数组，最坏情况是时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，对于 \(10^5\) 的数据肯定是过不去的。
\(\quad\)现在考虑优化算法，暴力算法跑得慢的原因就是多次遍历，多次清空数组，一个显然的优化就是将询问同一个子树的询问放在一起处理，但这样还是没有处理到关键，最坏情况时间复杂度还是 \(O(n^2)\) ，考虑到询问 \(x\) 节点时， \(x\) 的子树对答案有贡献，所以可以不用清空数组，先统计 \(x\) 的子树中的答案，再统计 \(x\) 的答案，这样就需要提前处理好 \(dfs\) 序。
\(\quad\)然后我们可以考虑一个优化，遍历到最后一个子树时是不用清空的，因为它不会产生对其他节点影响了，根据贪心的思想我们当然要把节点数最多的子树（即重儿子形成的子树）放在最后，之后我们就有了一个看似比较快的算法，先遍历所有的轻儿子节点形成的子树，统计答案但是不保留数据，然后遍历重儿子，统计答案并且保留数据，最后再遍历轻儿子以及父节点，合并重儿子统计过的答案。
\(\quad\)其实树上启发式合并的基本思路就是这样，可以看一下代码理解。
il int check(int x)//统计答案
{
int num=0,ret=0;
for(re i=1;i<=n;i++)
{
if(cnt[i]==num){ret+=i;}
else if(cnt[i]>num){num=cnt[i],ret=i;}
}
return ret;
}
il void add(int x){cnt[col[x]]++;}//单点增加
il void del(int x){cnt[col[x]]--;}//单点减少
il void raise(int x){for(re i=seg[x];i<=seg[x]+size[x]-1;i++)add(rev[i]);}//增加x子树的贡献
il void clear(int x){for(re i=seg[x];i<=seg[x]+size[x]-1;i++)del(rev[i]);}//清空x子树的贡献
il void dfs1(int x,int fa)
{
dep[x]=dep[fa]+1;father[x]=fa;//处理深度，父亲
seg[x]=++seg[0];rev[seg[x]]=x;size[x]=1;//子树大小，dfs序
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==fa)continue;dfs1(y,x);
size[x]+=size[y];
if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;//重儿子
}
}
il void dfs2(int x,int flag)//flag表示是否为重儿子，1表示重儿子，0表示轻儿子
{
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==son[x]||y==father[x])continue;
dfs2(y,0);//先遍历轻儿子
}
if(son[x])dfs2(son[x],1);//再遍历重儿子
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==son[x]||y==father[x])continue;
raise(y);//更新轻儿子的贡献
}add(x);//加上x结点本身的贡献
ans[x]=check(x);//更新答案
if(!flag)clear(x);//如果是轻儿子，就清空
}
\(\quad\)上面的只是模板的代码，此题的完整代码在下面，建议自己写出来，那样会更有效果。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
#define re register int
#define int long long
#define LL long long
#define il inline
#define next nee
#define inf 1e18
il int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
il void print(int x)
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x/10)print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6+5;
int n,ans[N],next[N<<1],go[N<<1],head[N],tot,seg[N],son[N],father[N],size[N];
int cnt[N],dep[N],rev[N],Maxdep,Max,num;
il void Add(int x,int y)
{
next[++tot]=head[x];
head[x]=tot;go[tot]=y;
}
il void check(int x)//更新Max和num的值
{
if(cnt[x]>Max)Max=cnt[x],num=x;
else if(cnt[x]==Max&&x<num)num=x;//如果有相等的情况，取深度小的
}
il void dfs1(int x,int fa)//预处理
{
father[x]=fa;size[x]=1;seg[x]=++seg[0];dep[x]=dep[fa]+1;rev[seg[x]]=x;//处理子树大小，父亲，深度，dfs序
if(dep[x]>Maxdep)Maxdep=dep[x];
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==fa)continue;dfs1(y,x);
size[x]+=size[y];
if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;//记录重儿子
}
}
il void dfs2(int x,int flag)
{
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==father[x]||y==son[x])continue;
dfs2(y,0);Max=num=0;//先遍历轻儿子
for(re j=seg[y];j<=seg[y]+size[y]-1;j++)
{int z=rev[j];cnt[dep[z]]=0;}//顺便清空cnt数组，Max和num清零
}if(son[x])dfs2(son[x],1);//再遍历重儿子
for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
{
if(y==father[x]||y==son[x])continue;
for(re j=seg[y];j<=seg[y]+size[y]-1;j++)
{
int z=rev[j];cnt[dep[z]]++;//更新轻儿子的贡献
check(dep[z]);
}
}cnt[dep[x]]++;check(dep[x]);//加上x结点本身的贡献
ans[x]=num-dep[x];//更新答案
}
signed main()
{
n=read();
for(re i=1,x,y;i<n;i++)x=read(),y=read(),Add(x,y),Add(y,x);
dfs1(1,0);dfs2(1,1);
for(re i=1;i<=n;i++)print(ans[i]),putchar('\n');
return 0;
}
