题解 CF916E 【Jamie and Tree】

\[\text{前言} \]

\(\quad\)可以看看我的一篇blog关于树链剖分"换根操作"笔记(内容都差不多)

\(\quad\)另外洛谷上还有一道关于换根操作的题目：P3979 【遥远的国度】(我的题解)

\[\text{关于题目要求的操作} \]

\(\quad\)其实可以发现在一棵树中，只有父亲(祖先)，儿子(子树)，深度等信息会因为根节点的变化而变化，所以题目一般需要你有换根操作，子树修改操作，求 \(LCA\) (最近公共祖先)，我们分别来考虑一下。(可以看看下面这张图来理解，题目中的图)

)

\[\text{换根} \]

\(\quad\)因为每换一次根，树中的很多信息都会改变，不可能每次换根都跑两便 \(dfs\) 预处理，所以我们考虑其他方法，对于单纯的换根操作，只需要设置一个全局变量 \(root\) 来存储根的编号( \(root\) 初始化为 \(1\) ，默认以 \(1\) 为根)，对于其他操作，再通过分类讨论 \(root\) 的位置来进行操作。

\[\text{LCA(最近公共祖先)} \]

\(\quad\)因为这题我们肯定用树链剖分解题，所以对于原图( \(root==1\) )的情况下 \(LCA\) 的求法肯定是使用树链剖分的(~~当然如果读者愿意专门打个倍增，那么你们随意~~)

\(\quad\)注意：(小写) \(lca(x,y)\) 表示在以1为根的树中 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先，(大写) \(LCA(x,y)\) 表示在以 \(root\) 为根的树中 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先。

il int lca(int x,int y) //模板树链剖分求LCA
{
  int fx=top[x],fy=top[y];
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  return x;
}

\(\quad\)接下来我们就要对 \(root\) 的位置进行分类讨论了，代码先贴出来给你们看看。

il int LCA(int x,int y)
{
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  int xr=lca(x,root),yr=lca(y,root),xy=lca(x,y);
  if(xy==x)
  {
  	if(xr==x){if(yr==y)return y;return yr;}
  	return x;
  }
  if(xr==x)return x;if(yr==y)return y;
  if((xr==root&&xy==yr)||(yr==root&&xy==xr))return root;
  if(xr==yr)return xy;
  if(xy!=xr)return xr;return yr;
}

\(\quad\)另外我们可以再画几张图来方便理解。

一.当 \(lca(x,y)==x\) (可以先按深度调序， \(dep[x]<=dep[y]\))

\(\quad\) \(1\). 情况 \(1\) ：\(root\) 在 \(x\) 的子树中，也在 \(y\) 的子树中，即 \(lca(x,root)==x\) && \(lca(y,root)==y\) ，此时 \(LCA(x,y)\) 是 \(y\) ，因为图要反过来看(以 \(root\) 为根)

\(\quad\) \(2\). 情况 \(2\) ： \(root\) 在 \(x\) 的子树中，但不在 \(y\) 的子树中，即 \(lca(x,root)\) ，此时 \(LCA(x,y)\) 是 \(lca(y,root)\)。

\(\quad\) \(3\). 情况 \(3\) ：其他情况下， \(LCA(x,y)\) 就是 \(x\) 。

二.当 \(lca(x,y)!=x\) (因为 \(dep[x]<=dep[y]\)，所以 \(lca(x,y)!=y\) ， \(x\) , \(y\) 在不同子树上)

\(\quad\) 1. 情况1：( \(lca(x,root)==x\) )||( \(lca(x,root)==x\) ),root在x(或y)的子树中时， \(LCA(x,y)\) 为 \(x\) (或 \(y\) )，显然。

\(\quad\) 2. 情况2：( \(lca(x,root)==root\) && \(lca(x,y)==lca(y,root)\) )||( \(lca(y,root)==root\) && \(lca(x,y)==lca(x,root)\))，即 \(root\) 在 \(x\) 到 \(y\) 的简单路径上时，答案为 \(root\) 。(也可以用深度判断， ( \(lca(x,root)===root\) && \(dep[root]>=dep[lca(x,y)]\) )||( \(lca(y,root)==root\) && \(dep[root]>=dep[lca(x,y)]\) ))

\(\quad\) 3. 情况3： \(lca(x,root)==lca(y,root)\) ，即 \(root\) 在上方时，\(LCA(x,y)\) 为 \(lca(x,y)\) 。

\(\quad\) 4. 情况4：当 \(root\) 在\(x\)，\(y\) 的链上节点的子树中时， \(LCA(x,y)\) 为那个链上节点。

\(\quad\)这样就把树上所有 \(root\) 位置的情况都考虑到了，不重不漏。

\[\text{子树修改(查询)} \]

\(\quad\) 情况 \(1\) ：当 \(x=root\) 时， \(x\) 就是此时整棵树的根，那么就是全局修改(查询)。

\(\quad\) 情况 \(2\) ：当 \(root\) 在x子树中时，就需要特别判断了，根据图像我们可以发现此时x的真正子树是包括除了 \(root\) 方向上的子树之外其他所有节点。

\(\quad\) 情况 \(3\) ：其他情况下 \(x\) 的子树以 \(root\) 为根和以 \(1\) 为根是一样的。

il int find(int x,int y)//寻找x中root所在的儿子节点
{
  int fx=top[x],fy=top[y];
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      if(father[fx]==y)return top[x];
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  return son[x];
}
il int query1(int x)
{
  int res=0;
  if(x==root){return query(1,1,n,1,n);}
  if(seg[root]>=seg[x]&&seg[root]<=seg[x]+size[x]-1){//判断root在x的子树中
    res+=query(1,1,n,1,n);int y=find(x,root);
    res-=query(1,1,n,seg[y],seg[y]+size[y]-1);
    return res;
  }
  return query(1,1,n,seg[x],seg[x]+size[x]-1);
}

\[\text{完整代码} \]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
#define int long long
#define next neee
#define re register int
#define il inline
#define inf 1e18
il int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;}
il void print(int x)
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x/10)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');}
const int N=2e5+5;
int n,m,next[N<<1],go[N<<1],head[N],tot,a[N],top[N],root;
int sum[N<<2],seg[N],rev[N],son[N],size[N],dep[N],father[N],c[N<<2];
il void Add(int x,int y)
{next[++tot]=head[x];head[x]=tot;go[tot]=y;}
il void dfs1(int x,int fa)
{
  father[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;size[x]=1;
  for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
    {
      if(y==fa)continue;
      dfs1(y,x);
      size[x]+=size[y];
      if(size[y]>size[son[x]])son[x]=y;
    }
}
il void dfs2(int x,int topf)
{
  top[x]=topf;seg[x]=++seg[0];rev[seg[x]]=x;
  if(!son[x])return;
  dfs2(son[x],topf);
  for(re i=head[x],y;i,y=go[i];i=next[i])
    {
      if(top[y])continue;
      dfs2(y,y);
    }
}
il void build(int k,int l,int r)
{
  if(l==r){sum[k]=a[rev[l]];return;}
  int mid=l+r>>1;
  build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);
  sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}
il void ADD(int k,int l,int r,int v)
{sum[k]+=(r-l+1)*v;c[k]+=v;}
il void pushdown(int k,int l,int r,int mid)
{
  if(l==r){c[k]=0;return;}
  ADD(k<<1,l,mid,c[k]);ADD(k<<1|1,mid+1,r,c[k]);
  c[k]=0;}
il void change1(int k,int l,int r,int x,int y,int z)
{
  if(x<=l&&y>=r){ADD(k,l,r,z);return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(c[k])pushdown(k,l,r,mid);
  if(x<=mid)change1(k<<1,l,mid,x,y,z);
  if(y>mid)change1(k<<1|1,mid+1,r,x,y,z);
  sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
}
il int query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
  if(x<=l&&y>=r)return sum[k];
  int mid=l+r>>1,res=0;
  if(c[k])pushdown(k,l,r,mid);
  if(x<=mid)res+=query(k<<1,l,mid,x,y);
  if(y>mid)res+=query(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
  return res;
}
il int lca(int x,int y)
{
  int fx=top[x],fy=top[y];
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  return x;
}
il int LCA(int x,int y)
{
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  int xr=lca(x,root),yr=lca(y,root),xy=lca(x,y);
  if(xy==x){if(xr==x){if(yr==y)return y;return yr;}return x;}
  if(xr==x)return x;if(yr==y)return y;
  if((xr==root&&xy==yr)||(yr==root&&xy==xr))return root;if(xr==yr)return xy;
  if(xy!=xr)return xr;return yr;
}
il int find(int x,int y)//寻找x中root所在的儿子节点
{
  int fx=top[x],fy=top[y];
  while(fx!=fy)
    {
      if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
      if(father[fx]==y)return top[x];
      x=father[fx];fx=top[x];
    }
  if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
  return son[x];
}
il void change2(int x,int z)
{
  if(x==root){change1(1,1,n,1,n,z);return;}
  if(seg[root]>=seg[x]&&seg[root]<=seg[x]+size[x]-1){//判断root在x的子树中
    change1(1,1,n,1,n,z);int y=find(x,root);
    change1(1,1,n,seg[y],seg[y]+size[y]-1,-z);
  }
  else change1(1,1,n,seg[x],seg[x]+size[x]-1,z);
}
il int query1(int x)
{
  int res=0;
  if(x==root){return query(1,1,n,1,n);}
  if(seg[root]>=seg[x]&&seg[root]<=seg[x]+size[x]-1){//判断root在x的子树中
    res+=query(1,1,n,1,n);int y=find(x,root);
    res-=query(1,1,n,seg[y],seg[y]+size[y]-1);
    return res;
  }
  return query(1,1,n,seg[x],seg[x]+size[x]-1);
}
signed main()
{
  n=read();m=read();
  for(re i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
  for(re i=1;i<n;i++){re x=read(),y=read();Add(x,y);Add(y,x);}
  root=1;dfs1(1,0);dfs2(1,1);build(1,1,n);
  while(m--)
    {
      re k=read();
      if(k==1)root=read();
      if(k==2){re x=read(),y=read(),z=read();change2(LCA(x,y),z);}
      if(k==3){re x=read();print(query1(x));putchar('\n');}
    }
  return 0;
}

\(\quad\)码题解不易，如果觉得不错，不妨点个赞呗！

posted @ 2020-11-04 21:39 Farkas_W 阅读(101) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

Farkas_W

题解 CF916E 【Jamie and Tree】

公告