<算法笔记02>欧拉函数

算法介绍

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目

\(\phi(n)\)的值为是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目

公式

求解欧拉函数公式为

假设\(n\)有\(t\)个质因子，有如下公式

• 公式：

  \(\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{p_t})\)

• 证明：

  根据容斥定理，假设\(n\)的质因子有\(p1，p2\)，那么有\(\frac{n}{p1}\)个数与\(n\)不互质，\(\frac{n}{p_2}\)个数与\(n\)不互质，但是\(\frac{n}{p_1*p_2}\)被多减去了一次因此要加回来..所以合并一下就是\(\phi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})\)如果有多个质因子也一样根据容斥的思想计算，一样可以得到结果。

• 举例：

  \(\phi(6)=2\) 因为数字\(1,5\)和\(6\)互质

  需要注意\(\phi(1)=1\)

性质

1. 当\(gcd(a,b)=1\)时，\(\phi(a)*\phi(b)=\phi(ab)\)
2. \(a|b\)时，\(\phi(ab)=\phi(a)*b\)
3. \(p\)是质数，\(\phi(p^n)=p^{n-1}*(p-1)\)

性质证明

1. 当\(gcd(a,b)=1\)时，\(\phi(a)*\phi(b)=\phi(ab)\)

   根据公式，\(a,b\)如果互质，那么说明没有公共质因子，\(\phi(ab)\)的展开就是\(\phi(a)*\phi(b)\)

2. \(a|b\)时，\(\phi(ab)=a*\phi(b)\)

   根据公式，如果\(a|b\)(\(b\%a=0\))，那么说明\(a\)拥有的质因子\(b\)一定有，\(\phi(ab)\)展开，\(a\)对展开式的质因子那几项没贡献作用，所以相当于直接乘\(a\)。

3. \(p\)是质数，\(\phi(p^n)=p^{n-1}*(p-1)\)，质数的质因子是自己本身，所以直接带公式即可....

常用板子

1. 求解\(\phi(n)\)

   思路：试除法求质因子，求的过程中计算即可，时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)

   int n;
   cin>>n;
   ll res=n;
   for(int i=2;i<=n/i;i++){
       if(n%i==0)res=res/i*(i-1);
       while(n%i==0)n/=i;
   }
   if(n>1)res=res/n*(n-1);
   cout<<res<<endl;
   

2. 求解\(\sum_{i=1}^n\phi(i)\)

   思路：可以用埃氏筛法或线性筛法，要运用到上面推导的三个性质。

• 埃氏筛法

/*
埃氏筛法的过程中，我们对质数进行翻倍，那么每个数字会被自己所有的质因子筛一遍，我们根据这个性质来“顺便”求解欧拉函数
*/
#include <iostream>
const int N=1e6+5;
int phi[N];
int main()
{  
    int n;
    cin>>n;
    long long  res=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(phi[i]==i){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
        res+=phi[i];
    }
    cout<<res;
}

• 线性筛法

/*
利用线性筛法的特点：每个数字有且仅被最小质因子筛一遍
*/
#include <iostream>
const int N=1e6+5;
typedef long long ll;
using namespace std;
int phi[N]={0,1};
int p[N],cnt;
bool book[N];
int main()
{  
    int n;
    cin>>n;
    ll res=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(phi[i]==0)p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;//没被筛到过，表明是质数 性质三
        for(int j=1;p[j]<=n/i;j++){
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];//性质2  
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];//性质1  phi[p[j]]在之前以及被计算过
        }
        res+=phi[i];
    }
    cout<<res;
}