第二章 贝叶斯滤波器
贝叶斯滤波器是一种比较简单的滤波方法，分为预测和修正两部分。
推导
xt 为当前机器人状态变量，zt为当前传感器对状态的观测变量，ut为当前对机器人状态的控制变量。
利用条件概率公式(conditional probability)，将当前机器人状态 由原来的整个样本空间缩小到了给定的z1:t , u1:t条件下的样本空间。
$$
P\left(x_{t}\right) \rightarrow P\left(x_{t} | z_{1 : t}, u_{1 : t}\right)
$$
利用贝叶斯公式将Zt换到前面
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\begin{aligned} p\left(x_{t} | z_{1 : t}, u_{1 : t}\right) &=\frac{p\left(z_{t} | x_{t}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right)}{p\left(z_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right)} \\ &=\eta p\left(z_{t} | x_{t}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \end{aligned}
$$
即
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\operatorname{bel}\left(x_{t}\right)=\eta p\left(z_{t} | x_{t}\right) \overline{b e l}\left(x_{t}\right)
$$
其中右边称为先验，由于缺乏Zt做观测，所以xt是不完备的，有待Zt做修正。
利用全概率公式将事件x t : t-1 分解成若干个小事件
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\begin{aligned} \overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right) &=p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \\ &=\int p\left(x_{t} | x_{t-1}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t-1} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) d x_{t-1} \end{aligned}
$$
全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(Bi)，P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成若干个小事件，通过求每个小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率。
利用马尔可夫性 其中z1 : t-1, u1 : t-1 对xt 没贡献将其剔除
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p\left(x_{t} | x_{t-1}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \quad=p\left(x_{t} | x_{t-1}, u_{t}\right)
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$$
\overline{b e l}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} | u_{t}, x_{t-1}\right) \text { bel }\left(x_{t-1}\right) d x_{t-1}
$$
$$
\overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} | x_{t-1}, u_{t}\right) p\left(x_{t-1} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t-1}\right) d x_{t-1}
$$
