第二章 贝叶斯滤波器

贝叶斯滤波器是一种比较简单的滤波方法，分为预测和修正两部分。

推导

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x_t 为当前机器人状态变量，z_t为当前传感器对状态的观测变量，u_t为当前对机器人状态的控制变量。

利用条件概率公式(conditional probability)，将当前机器人状态  由原来的整个样本空间缩小到了给定的z_1:t , u_1:t条件下的样本空间。

$$
P\left(x_{t}\right) \rightarrow P\left(x_{t} | z_{1 : t}, u_{1 : t}\right)
$$

利用贝叶斯公式将Zt换到前面

$$
\begin{aligned} p\left(x_{t} | z_{1 : t}, u_{1 : t}\right) &=\frac{p\left(z_{t} | x_{t}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right)}{p\left(z_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right)} \\ &=\eta p\left(z_{t} | x_{t}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \end{aligned}
$$

即

$$
\operatorname{bel}\left(x_{t}\right)=\eta p\left(z_{t} | x_{t}\right) \overline{b e l}\left(x_{t}\right)
$$

 其中右边称为先验，由于缺乏Zt做观测，所以xt是不完备的，有待Zt做修正。

利用全概率公式将事件x _{t : t-1 分解成若干个小事件} 

$$
\begin{aligned} \overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right) &=p\left(x_{t} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \\ &=\int p\left(x_{t} | x_{t-1}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) p\left(x_{t-1} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) d x_{t-1} \end{aligned}
$$

全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(B_i)，P(A|B_i)  (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成若干个小事件，通过求每个小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率。

利用马尔可夫性 其中z_{1 : t-1}, u_{1 : t-1} 对x_t 没贡献将其剔除

 

$$
p\left(x_{t} | x_{t-1}, z_{1 : t-1}, u_{1 : t}\right) \quad=p\left(x_{t} | x_{t-1}, u_{t}\right)
$$

 

$$
\overline{b e l}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} | u_{t}, x_{t-1}\right) \text { bel }\left(x_{t-1}\right) d x_{t-1}
$$

$$
\overline{\operatorname{bel}}\left(x_{t}\right)=\int p\left(x_{t} | x_{t-1}, u_{t}\right) p\left(x_{t-1} | z_{1 : t-1}, u_{1 : t-1}\right) d x_{t-1}
$$