012 C++ AVL_tree

前言

本文将会向你介绍AVL平衡二叉搜索树的实现

引入AVL树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序普通的二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法(AVL树是以这两位的名字命名的)：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，超过了1需要对树中的结点进行调整(旋转)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡因子

AVL树的平衡因子是指一个节点的左子树的高度减去右子树的高度的值。在AVL树中，每个节点的平衡因子必须为-1、0或1，如果不满足这个条件，就需要通过旋转操作来重新平衡树。AVL树的平衡因子可以帮助我们判断树的平衡状态，并且在插入进行相应的调整，以保持树的平衡性。

节点的创建

除了需要增加一个_bf平衡因子，这里还多加了一个pParent的结构体指针便于我们向上遍历对平衡因子进行调整

struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data = T())
		: _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _data(data)
		, _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;   // 节点的平衡因子
};

插入节点

先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
cur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

如果cur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
如果cur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

	// 在AVL树中插入值为data的节点
	bool Insert(const T& data)
	{
		Node* cur = _pRoot;
		Node* parent = nullptr;
		if (_pRoot == nullptr)
		{
			//直接插入
			_pRoot = new Node(data);
			//插入成功
			return true;
		}
		//寻找插入位置
		else
		{
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (cur->_data > data)
				{
					cur = cur->_pLeft;
				}
				else if (cur->_data < data)
				{
					cur = cur->_pRight;
				}
				//已有
				else return false;
			}
			cur = new Node(data);
			//插入+链接
			if (parent->_data > data)
			{
				parent->_pLeft = cur;
			}
			else
			{
				parent->_pRight = cur;
			}
			//链接
			cur->_pParent = parent;
		}
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_pRight)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else if (cur == parent->_pLeft)
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				//插入后子树稳定，不用向上更新平衡因子
				return true;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				return true;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左旋 (右高左低，往左边压)
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右旋（左高右低，往右边压）
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）
					RotateR(parent);
				}
				parent = parent->_pParent;
				cur = cur->_pParent; 
			}
			else
			{
				return false;
			}
			return true;
		}
	}

右单旋

左高右低，往右边旋（根据平衡因子判断（右子树的高度减去左子树的高度））
细节分析+代码

整体思路

	void RotateR(Node* pParent)
	{
		Node* pPnode = pParent->_pParent;
		Node* subL = pParent->_pLeft;
		Node* subLR = subL->_pRight;
		if (subLR)
		{
			pParent->_pLeft = subL->_pRight;
			subL->pParent = pParent;
		}
		subL->_pRight = pParent;
		pParent->_pParent = subL;
		//旋转部分子树
		if (pPnode)
		{
			//是左子树
			if (pPnode->_pLeft == pParent)
			{
				pPnode->_pLeft = subL;
				subL->pParent = pPnode;
			}
			//是右子树
			else
			{
				pPnode->_pLeft = subL;
				subL->pParent = pPnode;
			}
		}
		//旋转整棵子树
		else
		{
			_pRoot = subL;
			subL->pParent = nullptr;
		}
		//调节平衡因子
		pParent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

左单旋

这里作统一说明：h表示子树的高度，绿色标记的数字为节点的平衡因子，长方形表示的是一棵抽象的子树
右高左低，往左边旋（根据平衡因子判断（右子树的高度减去左子树的高度））
左单旋和右单旋的思路很像，这里就不再进行细节分析。

整体思路

void RotateL(Node* pParent)
	{
		Node* pPnode = pParent->_pParent;
		Node* subR = pParent->_pRight;
		Node* subRL = subR->_pLeft;//可能为空
		if (subRL)
		{
			pParent->_pRight = subRL;
			subRL->_pParent = pParent;
		}
		subR->_pLeft = pParent;
		pParent->_pParent = subR;

		//链接：旋转整棵树
		if (pPnode == nullptr)
		{
			_pRoot = subR;
			subR->_pParent = nullptr;
		}
		//链接：旋转子树
		else
		{
			if (pPnode->_pLeft == pParent)
			{
				pPnode->_pLeft = subR;
				subR->_pParent = pPnode;
			}
			else if (pPnode->_pRight == pParent)
			{
				pPnode->_pRight = subR;
				subR->_pParent = pPnode;
			}
		}
		//更新平衡因子
		pParent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

左右双旋

右左双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）

(1)第一种情况，也是最特殊的情况，即parent的右子树只有两个节点

（2）第二种情况，parent的左右子树是高度为h的抽象子树，新增节点插入到b子树上

（2）第三种情况，parent的左右子树是高度为h的抽象子树，新增节点插入到c子树上 实际上第二三种情况的分析是一致的

void RotateLR(Node* pParent)
	{
		Node* subL = pParent->_pLeft;
		Node* subLR = subL->_pRight;
		int bf = subLR->_bf;
		//复用
		RotateL(subL);
		RotateR(pParent);
		//更新平衡因子
		//插入右边
		if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			pParent->_bf = 0;
		}
		//插入左边
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			pParent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0, subL->_bf = 0, pParent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

右左双旋

左右双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）

(1)第一种情况，也是最特殊的情况，即parent的左子树只有两个节点

（2）第二种情况，parent的左右子树是高度为h的抽象子树，新增节点插入到c子树上

（3
）第三种情况，parent的左右子树是高度为h的抽象子树，新增节点插入到b子树上 实际上第二三种情况的分析是一致的

void RotateRL(Node* pParent)
	{
		Node* subR = pParent->_pRight;
		Node* subRL = subR->_pLeft;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(pParent);
		//更新平衡因子
		//插入在右边
		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			pParent->_bf = -1;
		}
		//插入在左边
		else if (bf == -1)
		{
			subRL = 0;
			pParent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL =pParent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

测试

	size_t _Height(Node* pRoot)
	{
		if (pRoot == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* pRoot)
	{
		if (pRoot == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		//平衡因子异常的情况
		if (rightHeight - leftHeight != pRoot->_bf)
		{
			cout << pRoot->_data << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		//检查是否平衡
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			//检查、遍历左右子树
			&& _IsBalance(pRoot->_pLeft)
			&& _IsBalance(pRoot->_pRight);
	}
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_pRoot);
	}
	int main()
{
	const int N = 30000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand());
		cout << v.back() << endl;
	}
	AVLTree<int> t;
	for (auto e : v)
	{
		if (e == 41)
		{
			t.Insert(e);
		}
		cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}

	cout << t.IsBalance() << endl;

	return 0;
}

全部代码

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data = T())
		: _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _data(data)
		, _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;   // 节点的平衡因子
};


// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
	AVLTree()
		: _pRoot(nullptr)
	{}

	// 在AVL树中插入值为data的节点
	bool Insert(const T& data)
	{
		Node* cur = _pRoot;
		Node* parent = nullptr;
		//判断是否为空树
		if (_pRoot == nullptr)
		{
			//直接插入
			_pRoot = new Node(data);
			//插入成功
			return true;
		}

		//寻找插入位置
		else
		{
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				//记录父节点的位置，便于后续的链接操作
				parent = cur;
				//向左遍历
				if (cur->_data > data)
				{
					cur = cur->_pLeft;
				}
				//向右遍历
				else if (cur->_data < data)
				{
					cur = cur->_pRight;
				}
				//已有
				else return false;
			}
			cur = new Node(data);
			//插入+链接
			if (parent->_data > data)
			{
				parent->_pLeft = cur;
			}
			else
			{
				parent->_pRight = cur;
			}
			//链接
			cur->_pParent = parent;
		}
		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_pRight)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else if (cur == parent->_pLeft)
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				//插入后子树稳定，不用向上更新平衡因子
				return true;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				return true;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左旋 (右高左低，往左边压)
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右旋（左高右低，往右边压）
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋（不是单独的左右有一方低，有一方高）
					RotateR(parent);
				}
				parent = parent->_pParent;
				cur = cur->_pParent; 
				return true;
			}
			else
			{
				return false;
			}	
		}
		return true;
	}

	
	// AVL树的验证
	bool IsAVLTree()
	{
		return _IsAVLTree(_pRoot);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_pLeft);
		cout << root->_data << " ";
		_InOrder(root->_pRight);
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_pRoot);
		cout << endl;
	}
	// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树
	size_t _Height(Node* pRoot)
	{
		if (pRoot == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		return (leftHeight > rightHeight) ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* pRoot)
	{
		if (pRoot == nullptr)
		{
			return true;
		}
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		//平衡因子异常的情况
		if (rightHeight - leftHeight != pRoot->_bf)
		{
			cout << pRoot->_data << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		//检查是否平衡
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			//检查、遍历左右子树
			&& _IsBalance(pRoot->_pLeft)
			&& _IsBalance(pRoot->_pRight);
	}
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_pRoot);
	}
	// 右单旋
	void RotateR(Node* pParent)
	{
		Node* pPnode = pParent->_pParent;
		Node* subL = pParent->_pLeft;
		Node* subLR = subL->_pRight;
		if (subLR)
		{
			pParent->_pLeft = subL->_pRight;
			subL->_pParent = pParent;
		}
		subL->_pRight = pParent;
		pParent->_pParent = subL;
		//旋转部分子树
		if (pPnode)
		{
			if (pPnode->_pLeft == pParent)
			{
				pPnode->_pLeft = subL;
				subL->_pParent = pPnode;
			}
			else
			{
				pPnode->_pLeft = subL;
				subL->_pParent = pPnode;
			}
		}
		//旋转整棵子树
		else
		{
			_pRoot = subL;
			subL->_pParent = nullptr;
		}
		//调节平衡因子
		pParent->_bf = subL->_bf = 0;
	}
	// 左单旋
	void RotateL(Node* pParent)
	{
		Node* pPnode = pParent->_pParent;
		Node* subR = pParent->_pRight;
		Node* subRL = subR->_pLeft;
		if (subRL)
		{
			pParent->_pRight = subRL;
			subRL->_pParent = pParent;
		}
		subR->_pLeft = pParent;
		pParent->_pParent = subR;

		//链接：旋转整棵树
		if (pPnode == nullptr)
		{
			_pRoot = subR;
			subR->_pParent = nullptr;
		}
		//链接：旋转子树
		else
		{
			if (pPnode->_pLeft == pParent)
			{
				pPnode->_pLeft = subR;
				subR->_pParent = pPnode;
			}
			else if (pPnode->_pRight == pParent)
			{
				pPnode->_pRight = subR;
				subR->_pParent = pPnode;
			}
		}
		//更新平衡因子
		pParent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
	// 右左双旋
	void RotateRL(Node* pParent)
	{
		Node* subR = pParent->_pRight;
		Node* subRL = subR->_pLeft;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(pParent);
		//更新平衡因子
		//插入在右边
		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			pParent->_bf = -1;
		}
		//插入在左边
		else if (bf == -1)
		{
			subRL = 0;
			pParent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL =pParent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	// 左右双旋
	void RotateLR(Node* pParent)
	{
		Node* subL = pParent->_pLeft;
		Node* subLR = subL->_pRight;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(subL);
		RotateR(pParent);
		//更新平衡因子
		//插入右边
		if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			pParent->_bf = 0;
		}
		//插入左边
		else if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			pParent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0, subL->_bf = 0, pParent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
private:
	Node* _pRoot;
};

//int main()
//{
//	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};
//	int a[] = { 4,2,6,13,5,15,7,16,14 };
//	AVLTree<int> t;
//	for (auto e : a)
//	{
//		t.Insert(e);
//	}
//	t.InOrder();
//	return 0;
//}
int main()
{
	const int N = 30000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand());
		cout << v.back() << endl;
	}
	AVLTree<int> t;
	for (auto e : v)
	{
		if (e == 41)
		{
			t.Insert(e);
		}
		cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}

	cout << t.IsBalance() << endl;

	return 0;
}