[Noi2013]矩阵游戏

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婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1

F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)

F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)

递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

 

直接矩阵乘法貌似可以卡过  看评测机速度233

但是发现你只要记下ans=a*x+b 的a和b就行了 ，这样操作数量减少了一半，500ms左右就能过

讲讲正解 先考虑一行  假设m=4，x是首项,那么F[m]= a(a(a(x)+b)+b)+b 发现F[m]是一个等比数列加上一个 a^(m-1)*x .直接套用等比数列求和公式即可。

再考虑n，发现我可以把前面那个式子同样表示成Ax+B的形式，然后每次跳一行只是乘上C再加上D罢了，同样可以表示成等比数列 所以用同样的方法就可以解出答案

注意特判比为1的情况。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
#define getchar() (*S++)
char BB[1<<26],*S=BB;
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9')x = (x<<1)+(x<<3) + ch - '0',ch = getchar();
    return x;
}

char n[1000005],m[1000005];
int a,b,c,d,A=0,B=0,C=0,D=0,len1=0,len2=0,ans=0;
 
int pow(int x,int k,int P)
{
    int sum=1;
    for(;k;k>>=1,x=1LL*x*x%P)
        if(k&1) sum=1LL*sum*x%P;
    return sum;
}
 
int main()
{
    fread(BB,1,1<<26,stdin);
    do n[++len1]=getchar(); while(n[len1]!=' ');--len1;
    do m[++len2]=getchar(); while(m[len2]!=' ');--len2;
    a=read();b=read();c=read();d=read();
    for(register int i=1;i<=len2;++i) 
        A=(1LL*A*10+m[i]-'0')%(mod-1),
        B=(1LL*B*10+m[i]-'0')%mod;        
    if(a==1) A=1,B=1LL*(B+mod-1)*b%mod;
    else  B=1LL*b*((pow(a,A+mod-2,mod)+mod-1)%mod)%mod*pow(a-1,mod-2,mod)%mod,A=pow(a,A+mod-2,mod);
    ans=(1LL*A+B)%mod;
    for(register int i=1;i<=len1;++i) 
        C=(1LL*C*10+n[i]-'0')%(mod-1),
        D=(1LL*D*10+n[i]-'0')%mod;    
    c=1LL*A*c%mod,d=(1LL*A*d%mod+B)%mod;
    if(c==1) ans=(ans+1LL*(D+mod-1)*d%mod)%mod;
    else ans=(1LL*d%mod*((pow(c,C+mod-2,mod)+mod-1)%mod)%mod*pow(c-1,mod-2,mod)%mod+1LL*ans*pow(c,C+mod-2,mod)%mod)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}