[bzoj3771]Triple

来自FallDream的博客，未经允许，请勿转载，谢谢。

---

 

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

 

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

 

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

 

可以看到题面非常的劲爆。简单来说，就是给你n个数，你要选出不同的1-3个数，求可能选出的数的和，并输出方案数。

 

题解：为了方便，假设只有3种物品1,2,3

构造选一个物品的生成函数$a(x)=x+x^{2}+x^{3}$。简单来说，系数是方案数，次数是总和。

那么根据生成函数的一套理论，从这3个物品中先后选出3个的方案数是$a^{3}(x)$的对应次数项的系数。

考虑去重，用$b(x)$表示选出两个的生成函数，那么$b(x)=x^{2}+x^{4}+x^{6}$

同理,$c(x)$表示选3个的生成函数，$c(x)=x^{3}+x^{6}+x^{9}$.

重复项有AAB,ABA,BAA，AAA所以减去$3a(x)b(x)$，但是我们发现AAA实际只有一种排列方案，所以加上$2*c(x)$

另外，我们求的是组合不是排列，也就是不考虑顺序，所以答案除去$3!$

所以总结一下，选出三个的生成函数是$$\frac{a^{3}(x)-3a(x)b(x)+2c(x)}{6}$$

同理得到选两个,一个的分别是$\frac{a^{2}(x)-b(x)}{2}$和$a(x)$

所以直接把他们加起来，求对应次数项系数就行了。

最后，选用fft加速求值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define pi acos(-1)
#define MN 131072
using namespace std;
int X,F;char ch;
inline int read()
{
    X = 0 , F = 0 , ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){ if(ch == '-') F = 1;  ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){X = X * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return F?-X:X;
}

struct cp
{
    double r,u;
    cp(double _r=0,double _u=0):r(_r),u(_u){}
    cp operator+(cp b){return cp(r+b.r,u+b.u);}
    cp operator-(cp b){return cp(r-b.r,u-b.u);}
    cp operator*(cp b){return cp(r*b.r-u*b.u,r*b.u+u*b.r);}
    cp operator/(double b){return cp(r/b,u/b);}
    cp operator*(double b){return cp(r*b,u*b);}
}w[2][MN+5],a[MN+5],b[MN+5],c[MN+5];

int n,mx;


void init()
{
    w[0][0]=w[1][n]=cp(1,0);
    w[0][1]=w[1][n-1]=cp(cos(2*pi/n),sin(2*pi/n));
    for(int i=2;i<=n;i++)
        w[0][i]=w[1][n-i]=w[0][i-1]*w[0][1];
}

void fft(cp*x,int b)
{
    for(int i=0,j=0;i<n;++i)
    {
        if(i>j)swap(x[i],x[j]);
        for(int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1)for(int j=0;j<n;j+=i)for(int k=0;k<i>>1;k++)
    {
        cp t=x[j+k+(i>>1)]*w[b][n/i*k];
        x[j+k+(i>>1)]=x[j+k]-t;
        x[j+k]=x[j+k]+t;
    }
    if(b)for(int i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]/n;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=read();
        a[x].r+=1.0;b[x<<1].r+=1.0;c[x*3].r+=1.0;
        mx=max(mx,x);
    }
    for(n=1;n<=mx*3;n<<=1);
    init();fft(a,0);fft(b,0);fft(c,0);
    for(int i=0;i<n;i++)
      //  a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]+a[i]*a[i]*3+a[i]*6-a[i]*b[i]*3-b[i]*3+c[i]*2)/6;
        a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]-a[i]*b[i]*3+c[i]*2)/6+(a[i]*a[i]-b[i])/2+a[i];
    fft(a,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x=int(a[i].r+0.5);
        if(x)printf("%d %d\n",i,x);
    }
    return 0;
}