法向量变换
法向量变换
设两点切线向量为\(t\)，其法线向量为\(n\)，二者均为列向量，且满足\(t^Tn=0\)
设变换后的切线向量为\(t'\)，法线向量为\(n'\)，二者也需要满足\(t'^Tn'=0\)
设\(t'=Mt\)，\(n'=Gn\)，\(M\)和\(G\)分别为\(t\)和\(n\)的变换矩阵
则有\((Mt)^TGn=t^TM^TGn=0\)
设\(M^TG=S\)，则式子为\(t^TSn=0\)
到这一步其实有的地方就将的很模糊了，直接就说因为\(t^Tn=0\)，所以\(S\)为单位阵
然后利用\(M^TG=I\)推导\(G=(M^{-1})^T\)
上述情况确实是可行解，但是不能说\(t^Tn=0\)所以\(S\)就要为单位阵
特例情况：
- \(Sn=\lambda n\)，当特征值\(\lambda=1\)时，\(S\)矩阵的特征向量\(n\)不会被矩阵\(S\)改变大小方向，此时\(S\)不用为单位阵
- \(S\)为负单位阵时，反向了\(n\)的方向，但是也满足\(t^Tn=0\)
- \(S\)为绕\(t\)旋转的旋转矩阵时，\(n\)离开了原本\(n\)和\(t\)所在的平面，但是仍垂直于\(t\)，满足\(t^Tn=0\)
不能说因为\(t^Tn=0\)所以\(S\)就要为单位阵，而是因为有以下几个条件，使得特例情况不满足，所以\(S\)才需要为单位阵
- 我们要得到一个统一的\(S\)使得对任意的\(t\)和\(n\)均满足\(t^TSn=0\)（排除特例1，与\(n\)有关）
- 我们不应该反向法线方向（排除特例2）
- 我们不应该使得法线偏离原本法线和切线所在的平面（排除特例3）
当\(G=(M^{-1})^T=M\)时，也就是不包括不等比缩放时，对法线向量直接用\(M\)矩阵才是对的，不然应该对法线向量使用法线矩阵\(G\)
