【NOIP2016】愤怒的小鸟

题目描述 Description

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 (0,0)处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax^2+bx 的曲线，其中 a,b是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a<0，a,b 都是实数。

当小鸟落回地面（即 x 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 n 只绿色的小猪，其中第 ii 只小猪所在的坐标为 (xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi,yi)，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 ii 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 (1,3) 和 (3,3)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y=−x^2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 T个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

输入描述 Input Description

从标准输入读入数据。

第一行包含一个正整数 T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 T 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 n 行中，第 i 行包含两个正实数 xi,yi，表示第 ii 只小猪坐标为 (xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 m=0，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。

如果 m=1，则这个关卡将会满足：至多用 ⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 m=2，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋ 只小猪。

保证 1≤n≤18，0≤m≤2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中，符号 ⌈c⌉ 和 ⌊c⌋ 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

输出描述 Output Description

输出到标准输出。

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

样例输入 Sample Input

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

样例输出 Sample Output

1
1

数据范围及提示 Data Size & Hint

 

之前的一些废话：我是来填最近几周做题没写博客的坑的。

题解：看到数据范围那么小不是状压就是暴搜了。但是状态压缩一般比较稳，于是决定写状压。开始十分幼稚的认为一条抛物线至少能干掉两头猪，后来才发现有些情况抛物线a<0，即反重力，是不行的。我们设v(i,j)表示打i,j两头猪的抛物线所能打到所有猪的集合，先推一推式子，判断第三个点是否在抛物线上（注意浮点误差）,这个过程用O(n^3)的时间就能搞定，之后我们就可以DP了，设f(S)表示打死集合S的最少次数，转移的话首先枚举两头没打过的猪，然后转移方程是dp[S|v[i][j]]=min(dp[S|v[i][j]],dp[S]+1)，然后再枚举打死一头猪的，转移为dp[S|(1<<i)]=min(dp[S|(1<<i)],dp[S]+1);注意要特判当n=1。

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<double,double> PDD;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
inline int read()
{
     int x=0,f=1;char c=getchar();
     while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
     while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
     return x*f;
}
#define X first
#define Y second
const int maxn=20;
const double eps=1e-12;
PDD p[maxn];
int T,n,m,dp[1<<maxn],all,v[maxn][maxn];
bool isline(int a,int b,int c)
{
    double X1=p[a].X,X2=p[b].X,X3=p[c].X,Y1=p[a].Y,Y2=p[b].Y,Y3=p[c].Y;
    double A=(Y1*X2-Y2*X1)/(X1*X1*X2-X1*X2*X2),B=(Y1*X2*X2-Y2*X1*X1)/(X1*X2*X2-X1*X1*X2); 
    if(A>=0.0)return 0;
    return fabs(Y3-A*X3*X3-B*X3)<=eps;
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        mem(dp,42);mem(p,0);mem(v,0);
        n=read();read();all=(1<<n)-1;
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].X,&p[i].Y);
        dp[0]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=i+1;j<n;j++)
            {
                if(!isline(i,j,n))continue;
                v[i][j]=(1<<i)|(1<<j);
                for(int k=0;k<n;k++)if(k!=i && k!=j)if(isline(i,j,k))v[i][j]|=(1<<k);
            }
        if(n<=1){printf("1\n");continue;}
        for(int S=0;S<=all;S++)
        {
            for(int i=0;i<n;i++)dp[S|(1<<i)]=min(dp[S|(1<<i)],dp[S]+1);
            for(int i=0;i<n;i++)
                  for(int j=i+1;j<n;j++)if(v[i][j])
                    if(!(S&(1<<i)) && !(S&(1<<j)))
                        dp[S|v[i][j]]=min(dp[S|v[i][j]],dp[S]+1);
        }
        printf("%d\n",dp[all]);
    }
    return 0;
}

总结： 一定要小心浮点误差。