[BZOJ3631][JLOI2014]松鼠的新家

题目描述 Description

松鼠的新家是一棵树，前几天刚刚装修了新家，新家有n个房间，并且有n-1根树枝连接，每个房间都可以相互到达，且俩个房间之间的路线都是唯一的。天哪，他居然真的住在“树”上。松鼠想邀请****前来参观，并且还指定一份参观指南，他希望**能够按照他的指南顺序，先去a1，再去a2，……，最后到an，去参观新家。

可是这样会导致**重复走很多房间，懒惰的**不听地推辞。可是松鼠告诉他，每走到一个房间，他就可以从房间拿一块糖果吃。**是个馋家伙，立马就答应了。

现在松鼠希望知道为了保证**有糖果吃，他需要在每一个房间各放至少多少个糖果。因为松鼠参观指南上的最后一个房间an是餐厅，餐厅里他准备了丰盛的大餐，所以当**在参观的最后到达餐厅时就不需要再拿糖果吃了。

输入描述 Input Description

第一行一个整数n，表示房间个数

第二行n个整数，依次描述a1-an

接下来n-1行，每行两个整数x，y，表示标号x和y的两个房间之间有树枝相连。

输出描述 Output Description

一共n行，第i行输出标号为i的房间至少需要放多少个糖果，才能让**有糖果吃。 

样例输入 Sample Input

5
1 4 5 3 2
1 2
2 4
2 3
4 5

样例输出 Sample Output

1
2
1
2
1

数据范围及提示 Data Size & Hint

 2<= n <=300000

之前的一些废话：会考结束，没出成绩，准备期末复习。说实话这道题看完之后发慌，因为。。有点像某道给我心理阴影面积极大的题（NOIP2016天天爱跑步）

题解：在树的路径上进行修改，其实这道题是可以那树链剖分+线段树水过的。但是我们对于这种离线的，可以使用一种叫做树上差分的技巧。还记得借教室那道题么？也是涉及到线性的区间修改，但是我们利用差分+前缀和的思想，不需要修改整个区间，只需要动区间两端即可，最后前缀和扫一遍就能把所有区间打的标记算好。树上的话也是类似，把a,b这段路径和都加上1的方法：在a,b位置各加上1，然后自底向上过程中就能把a,b路径上的点全部算入，然后汇聚到lca(a,b)的时候会算两次，所以我们需要在lca(a,b)处减1，之后在lca(a,b)以上的部分就不会进行修改了，所以我们再在fa[lca(a,b)]处减一即可。自底向上的话，用类似树形DP的方法来求即可。至于lca的部分，以后不玩倍增了，还是写树链剖分比较稳。

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef pair<int,int> PII;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=300010;
struct Edge
{
    int u,v,next;
    Edge() {}
    Edge(int _1,int _2,int _3):u(_1),v(_2),next(_3) {}
}e[maxn<<1];
int n,ce=-1,es,a,b,A[maxn],first[maxn],deep[maxn],fa[maxn],size[maxn],ms[maxn],top[maxn],tag[maxn];
void addEdge(int a,int b)
{
    e[++ce]=Edge(a,b,first[a]);first[a]=ce;
    e[++ce]=Edge(b,a,first[b]);first[b]=ce;
}
void dfs(int now,int pa)
{
    size[now]=1;
    for(int i=first[now];i!=-1;i=e[i].next)
        if(e[i].v!=pa)
        {
            fa[e[i].v]=now;deep[e[i].v]=deep[now]+1;
            dfs(e[i].v,now);
            size[now]+=size[e[i].v];
            if(size[e[i].v]>size[ms[now]])ms[now]=e[i].v;
        }
}
void divide(int now,int chain)
{
    top[now]=chain;
    if(ms[now])divide(ms[now],chain);
    for(int i=first[now];i!=-1;i=e[i].next)
        if(e[i].v!=ms[now] && fa[now]!=e[i].v)divide(e[i].v,e[i].v);
}
int lca(int a,int b)
{
    while(top[a]!=top[b])
    {
        if(deep[top[a]]<deep[top[b]])swap(a,b);
        a=fa[top[a]];
    }
    return deep[a]<deep[b] ? a : b;
}
void pushup(int now)
{
    for(int i=first[now];i!=-1;i=e[i].next)
        if(fa[now]!=e[i].v)pushup(e[i].v),tag[now]+=tag[e[i].v];
}
int main()
{
    mem(first,-1);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++)a=read(),b=read(),addEdge(a,b);
    dfs(1,0);divide(1,1);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int t=lca(A[i],A[i+1]);
        tag[A[i]]++;tag[A[i+1]]++;
        tag[t]--;tag[fa[t]]--;
    }
    pushup(1);
    for(int i=2;i<=n;i++)tag[A[i]]--;
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",tag[i]);
    return 0;
}

总结：树上差分似乎近几年很爱考，一定要牢记。