[KCOJ20170214]又一个背包

 

题目描述 Description

小W要去军训了！由于军训基地是封闭的，小W在军训期间将无法离开军训基地。所以他没有办法出去买他最爱吃的零食。万般无奈的小W只好事先买好他爱吃的零食，装在背包里带入军训基地。市场里的零食琳琅满目，纵然小W想把他们都带走，然而小W的背包只有有限的容量。带哪些零食好呢？小W给每种零食都评估了一个他的喜爱程度。另外，由于市场的零食都是散称售卖的，所以一种零食可以只买一部分带走。现在小W希望能挑选出最合适的购买方案，使得所购买的零食能装进背包且喜爱程度总分最大。因为零食的种类实在是太多了，所以小W找到了聪明的你，希望你能尽快（军训的车队即将出发，时间紧迫）告诉他购买方案。

输入描述 Input Description

第一行两个整数n和w，分别表示有n种零食种类和背包总容量。 接下来n行，每行两个整数ci和vi，分别表示第i种食品占的体积和小W的喜爱程度。

输出描述 Output Description

一行一个数字，表示最优购买方案下，所能获得的最大喜爱程度总和。保留3位小数。

样例输入 Sample Input

5 5
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1

样例输出 Sample Output

11.000

数据范围及提示 Data Size & Hint

n <= 2000000，w <= 2*10^9，0<=ci <= 100，0<=vi<=100

一道部分背包问题。这道题按性价比排序然后贪心取肯定是没有问题的，但是复杂度是O(n log n)有点大，像我们学校OJ对于n=2000000的肯定是跑不下来的。所以我们要O(n)做这道题。乍一想，发现完全没有思路，应该有一点灵感就是类似于O(n)求第K大数一样，一个用的是O(n log n)排序，一个是nth_element O(n)做的。于是我们就想分治做这道题，把问题分为更小的子问题。算出每个物品的性价比之后，我们nth_element求出中位数，这样这个数列的左边就变成比中位数小的，右边就变成比中位数大的。然后我们暴力扫一遍右边的价值和，判断一下，然后就好办了。复杂度分析的话，这个东西1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n是小于2的，所以类似的话，复杂度就是O（n）。本题还有一个坑点，就是空间有可能是0！

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=2000010;
struct Item
{
    double w,v,s;
    bool operator < (const Item &t)const  {return s<t.s;}
}a[maxn];
int n,ans;
double V;
double solve(int l,int r,double val)//val是当前背包容量 
{
    if(l>r)return 0;
    if(l==r)
    {
        if(val<a[l].v)return val*a[l].s;
        else return a[l].w;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    double sum=0,sum2=0;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1);
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)sum+=a[i].w,sum2+=a[i].v;
    //printf("%d %d %d %lf %lf %lf\n",l,r,mid,sum,sum2,val);
    if(val>sum2)return sum+solve(l,mid,val-sum2);
    if(val==sum2)return sum;
    if(val<sum2)return solve(mid+1,r,val);
}
int main()
{
    n=read();V=(double)read();
    int i=1;
    while(i<=n)
    {
         a[i].v=(double)read();a[i].w=(double)read();
         if(a[i].v==0)ans+=a[i].w,n--;
         else a[i].s=a[i].w/a[i].v,i++;
    }
    printf("%.3f\n",ans+solve(1,n,V));
    return 0;
}