小飞淙在博客上的第一天——NOIP201505转圈游戏

原本我是在word文档上写这种东西的，在杨老师的“强迫”下，我开始写了博客。

这是我在博客上的第一天，就先来个简单的，下面请看题：

试题描述

 有n个小伙伴（编号从0到n-1）围坐一圈玩游戏。按照顺时针方向给n个位置编号，从0到n-1。最初，第0号小伙伴在第0号位置，第1号小伙伴在第1号位置，……，依此类推。
    游戏规则如下：每一轮第0号位置上的小伙伴顺时针走到第m号位置，第1号位置小伙伴走到第m+1号位置，……，依此类推，第n−m号位置上的小伙伴走到第0号位置，第n-m+1号位置上的小伙伴走到第1号位置，……，第n-1号位置上的小伙伴顺时针走到第m-1号位置。
    现在，一共进行了10^k 轮，请问x号小伙伴最后走到了第几号位置。

输入

输入共1行，包含4个整数n、m、k、x，每两个整数之间用一个空格隔开。 

输出

输出共1行，包含1个整数，表示10^k轮后x号小伙伴所在的位置编号。

输入示例

10 3 4 5

输出示例

5

其他说明

数据范围：0<n<10^6,0<m<n,0<x<=n,0<k<10^9

题目看起来比较简单。最终解应该就是(x+n*10^k)%n。如果这都想不到的话，那就没救了。

其他都好处理关键是这个10^k怎么处理，数据范围中0<k<10^9,如果真一个一个往上乘以10的话肯定没戏。

怎么办呢，有一个高级的东西叫做快速幂。

第一次听说是初二时寒假上课杨老师讲的，但是早就忘光了。今天重新复习了一遍。

 快速幂有两种方法，先说一种比较简单理解的，递归法

我们要求的是x^n，由于乘法公式,当n为偶数时原式可化为x^n=(x*x)^(n/2)，这样递归就转为了当n/2的情况。当n为奇数时就是x^n=(x*x)^(n/2)*x，也同样可以转化，这样的话，n每次减半，时间复杂度为O(log 2 (n)),代码在下面。

typedef long long LL;
LL mod_pow2(LL x,LL n,LL m)
{
    if(n==0) return 1;
    LL ans=mod_pow2(x*x,n/2,m);
    if(n&1)ans=ans*x%m;
    return ans;
}

还有一种方法，是基于n的二进制数的。假设n=2^k,则可以表示为x^n=x^2^2^…^2,这样我们做简单的k次平方运算就可以求出x^n的值了。

把问题转为一般化，若n!=2^k,将n转化为一些2次方的和，n=2^k2+2^k2+…，每个数都能完成这样的操作，因为这其实就是二进制。

知道上面的，既可以轻易的得出x^n=x^2^k1*x^2^k2*……

举个例子22的二进制数是10110，那么x^22=x^16*x^4*x^2.这些16,4,2的数其实就是22的二进制数上1所对应的数值。

代码送上：

typedef long long LL;
LL mod_pow1(LL x,LL n,LL m)
{
    LL ans=1;//计算总和
    while(n>0)
    {
        if(n&1)ans=ans*x%m;//n&1的意思是n的二进制最后一位是否等于1
        x=x*x%m;
        n>>=1;//n的二进制数整体向右移一位
    }
    return ans%m;
}

将快速幂复习后，这道题简直是水到家了，代码就不写了。

第一次写博客，写的比较渣，好多地方语言表达不妥当，看着以后进步吧。

还有下回我管老师要一个数学公式编辑器，网上的需要花钱，等有了公式编辑器写数学推导就舒服多了。