AcWing 798. 差分矩阵

二维差分

我们已经知道了一维差分如何去做，那么如果扩展到二维呢？这里就要引入二维差分了。

定义

给定一个数组 $a$，构造一个数组 $b$，使得 $a$ 数组是 $b$ 数组的前缀和数组，那么称 $b$ 数组是 $a$ 数组的差分数组。

作用

在 $O(1)$ 的复杂度内将原矩阵中的任意子矩阵的每个数加上 $c$（减法相同）。

具体实现 & 原理

如何构造差分数组？

我们先来考虑如何在 在 $O(1)$ 的复杂度内将原矩阵中的任意子矩阵的每个数加上/减去 $c$。

将上述操作封装成函数形式：

void insert(int i, int j, int x, int y, int c)
{
    b[i][j] += c;
    b[i][y + 1] -= c;
    b[x + 1][j] -= c;;
    b[x + 1][y + 1] += c;
}

我们可以让 $a$ 数组初始时为空，那么显然 $b$ 数组也为空。

假设 $a_{i, j}$ 这个格子里的数为 $c$，怎么把它加上呢？

可以将左上角 $(i, j)$、右下角 $(i, j)$ 的子矩形加上 $c$（其实就是把 $(i, j)$ 这个小方格加上 $c$）。

上述操作代码如下

// 将a[i][j]这个格子赋值为c
insert(i, j, i, j, c);

同理，以为差分也可以这样做，这里不再赘述，详见一维差分。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], b[N][N];

void insert(int i, int j, int x, int y, int c)
{
    b[i][j] += c;
    b[i][y + 1] -= c;
    b[x + 1][j] -= c;;
    b[x + 1][y + 1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q, x, y, xx, yy, c;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);
    // 初始化差分矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    for (int i = 0; i < q; i ++ )
    {
        scanf("%d%d%d%d%d", &x, &y, &xx, &yy, &c);
        insert(x, y, xx, yy, c); // 处理每个操作
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1]; // 二维前缀和，详见https://www.cnblogs.com/FXT1110011010OI/p/16549503.html
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) printf("%d ", b[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}