AcWing 798. 差分矩阵
二维差分
我们已经知道了一维差分如何去做,那么如果扩展到二维呢?这里就要引入二维差分了。
定义
给定一个数组 \(a\),构造一个数组 \(b\),使得 \(a\) 数组是 \(b\) 数组的前缀和数组,那么称 \(b\) 数组是 \(a\) 数组的差分数组。
作用
在 \(O(1)\) 的复杂度内将原矩阵中的任意子矩阵的每个数加上 \(c\)(减法相同)。
具体实现 & 原理
如何构造差分数组?
我们先来考虑如何在 在 \(O(1)\) 的复杂度内将原矩阵中的任意子矩阵的每个数加上/减去 \(c\)。
将上述操作封装成函数形式:
void insert(int i, int j, int x, int y, int c)
{
b[i][j] += c;
b[i][y + 1] -= c;
b[x + 1][j] -= c;;
b[x + 1][y + 1] += c;
}
我们可以让 \(a\) 数组初始时为空,那么显然 \(b\) 数组也为空。
假设 \(a_{i, j}\) 这个格子里的数为 \(c\),怎么把它加上呢?
可以将左上角 \((i, j)\)、右下角 \((i, j)\) 的子矩形加上 \(c\)(其实就是把 \((i, j)\) 这个小方格加上 \(c\))。
上述操作代码如下
// 将a[i][j]这个格子赋值为c
insert(i, j, i, j, c);
同理,以为差分也可以这样做,这里不再赘述,详见一维差分。
完整代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int i, int j, int x, int y, int c)
{
b[i][j] += c;
b[i][y + 1] -= c;
b[x + 1][j] -= c;;
b[x + 1][y + 1] += c;
}
int main()
{
int n, m, q, x, y, xx, yy, c;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &a[i][j]);
// 初始化差分矩阵
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
for (int i = 0; i < q; i ++ )
{
scanf("%d%d%d%d%d", &x, &y, &xx, &yy, &c);
insert(x, y, xx, yy, c); // 处理每个操作
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1]; // 二维前缀和,详见https://www.cnblogs.com/FXT1110011010OI/p/16549503.html
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for (int j = 1; j <= m; j ++ ) printf("%d ", b[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}
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