浅谈扩展欧几里得(Exgcd)
前言
假设我们已经会了欧几里得算法
而且，真真真真的是浅谈
基本形式
\[ax+by=\gcd(a,b)
\]
\[a, b\in \mathbb{N}^*
\]
扩展欧几里得 (Exgcd) 则是求解以上方程的整数解
求特解
观察基本形式 \(ax+by=\gcd(a,b)\)
并考虑欧几里得算法的结束条件 \(a=gcd, b=0\)
则最终状态是 \(x=1, y=0\)
继续分析条件
\[\because \gcd(a, b)=\gcd(b, a \% b)
\]
\[\therefore bx'+(a\% b)y'=\gcd(b, a\% b)
\]
假设我们已经求解了
\[bx'+(a\% b)y'=\gcd(b, a\% b)
\]
并且要求出他的上一状态
\[ax+by=\gcd(a,b)
\]
我们知道
\[a\% b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b
\]
所以
\[\begin{array}{lcl}
\begin{aligned}
\gcd(a, b) & = bx'+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)y' \\
& = bx'+ay'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by' \\
& = ay'+(x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y')b \\
\end{aligned} \\
\because ax+by=\gcd(a, b) \\
\therefore x=y',\ y=x'-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y'
\end{array}
\]
最后递归求解即可
根据特解求通解
以下式为例，并假设有解，即 \(\gcd(a, b) | c\)
\[ax+by=c
\]
我们已知一组 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的特解，记为 \(x_0, y_0\)
则有
\[\begin{array}{rcl}
ax_0+by_0&=&\gcd(a,b)\\
a\frac{x_0c}{\gcd(a,b)}+b\frac{y_0c}{\gcd(a,b)}&=&c\\
\end{array}
\]
于是我们找到了原方程的一组特解，记为 \(x_1\) 和 \(y_1\)
\[x_1=\frac{x_0c}{\gcd(a,b)},\ y_1=\frac{y_0c}{\gcd(a,b)}
\]
于是我们设任意 \(d\in \mathbb{Q}\)，那么一定有
\[a(x_1+db)+b(y_1-da)=c
\]
且 \(x_1+db\) 与 \(y_1-da\) 必须为整数
又因为 \(x_1,\ y_1\) 为整数，所以我们只需要保证 \(db, da\in \mathbb{Z}\)
令当 \(d\) 取到最小的可能的正值时的 \(d_x=db, d_y=da\)，那么任意解中这两个变量与 \(x_1,\ y_1\) 的偏差一定分别为 \(d_x\) 与 \(d_y\) 的倍数
那么显然最小 \(d=\frac{1}{\gcd(a, b)}\) ，所以 \(d_x=\frac{b}{\gcd(a, b)},\ d_y=\frac{a}{\gcd(a, b)}\)
于是通解形式为
\[\begin{array}{rcl}
x&=&x_1+kd_x\\
y&=&y_1-kd_y
\end{array}
\]
其中，\(k\) 是任意整数
例题
P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
以上我们已经求出通解形式，于是分类讨论即可（注意细节）
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define fore(i,now) for(reg int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
#define fora(i,a,b,c) for(reg int i=a;i<=b;i+=c)
#define forb(i,a,b,c) for(reg int i=a;i>=b;i-=c)
#define uLL unsigned LL
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define reg register
#define R read()
inline LL read(){
LL s=0, f=1; char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') { if(c=='-') f=-f; c=getchar(); }
while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^48), c=getchar();
return s*f;
}
LL Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
if(b==0) { x=1, y=0; return a; }
LL g=Exgcd(b, a%b, x, y);
LL t=x; x=y, y=t-(a/b)*y;
return g;
}
int main(){
int T=R; while(T-->0){
LL a=R, b=R, c=R, x, y, k;
LL g=Exgcd(a, b, x, y);
/* 判断有无解 */
if(c%g) { puts("-1"); continue; }
/* 求 x1 及 y1 */
x*=c/g, y*=c/g;
/* q, p 同 dx, dy */
LL q=b/g, p=a/g;
/* 将 x 调整为最小正整数解 */
if(x<=0) k=ceil((1.0-x)/q), x+=k*q, y-=k*p;
else k=(x-1)/q, x-=k*q, y+=k*p;
/* 判断有无正整数解 */
if(y>0)
/* 根据询问回答即可, (y-1)%p+1 是为了使 y 是正整数 */
printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", (y-1)/p+1, x, (y-1)%p+1, x+(y-1)/p*q, y);
else
printf("%lld %lld\n", x, y+(LL)ceil((1.0-y)/p)*p);
}
return 0;
}
